הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
(←דוגמאות) |
מ (←שברים חלקיים) |
||
שורה 19: | שורה 19: | ||
{{left|1=<span></span> | {{left|1=<span></span> | ||
# <math>\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+10}&=\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+3^2+1}\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+3\right)^2+1}\\&=\arctan(x+3)+?\end{align}</math> | # <math>\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+10}&=\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+3^2+1}\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+3\right)^2+1}\\&=\arctan(x+3)+?\end{align}</math> | ||
− | # <math>\begin{align}\int\frac{5x+2}{x^2+10x+34}\mathrm dx&=\int\frac{5x+2}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm dx\\&=\int\frac{5(x+5)-23}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm d(x+5)\\&=\frac52\ln\left(\left(x+5\right)^2+9\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\\&=\frac52\ln\left(x^2+10x+34\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\end{align}</math> | + | # <math>\begin{align}\int\frac{5x+2}{x^2+10x+34}\mathrm dx&=\int\frac{5x+2}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm dx\\&=\int\frac{5(x+5)-23}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm d(x+5)\\&=\frac52\ln\left(\left(x+5\right)^2+9\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\\&=\frac52\ln\left(x^2+10x+34\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\end{align}</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>\frac{\mathrm d(x+5)}{\mathrm dx}=1</math> ולכן <math>\mathrm dx=\mathrm d(x+5)</math>.</div> |
# <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div> | # <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div> | ||
}} | }} |
גרסה מ־15:43, 18 באפריל 2011
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה
דוגמאות
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-.
-
: נציב
ולכן
דרך אחרת:, נציב
ולכן
: נגדיר
ולכן
-
: נגדיר
ואז
-
: נציב
לקבל
-
:
. לפיכך
-
:
ומכאן נובע
-
: אם
אז
נציבואז
- נתון
קבוע וצריך למצוא נוסחת נסיגה ל-
לכל
. ברור כי
. כעת
. לפיכך
לכן.
למשל, עבור
נחשב
:
וכן
. לבסוף:
שברים חלקיים
נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי (
פולינומים). כבר ראינו דוגמה פרטית של השיטה, כאשר פירקנו פונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות, וזה יסוד השיטה.
נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית
כך ש-
ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים:
, כאשר
קבועים ולמכנה
אין שורשים ממשיים (כלומר
).
האינטגרציה של השבר הראשון קלה:
. לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:
-
- כאשר
ולכן
.
- נציב
ואז
:
נציבונסמן
:
כאשרהוא בדיוק אותו
שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.
באופן כללי נהפוך את השבר ל-. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש
) נחשב ע"י הצבת
, ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל.
![p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\in\mathbb R_n[x]](/images/math/9/2/3/9232048210562f7110c61b9bfb69e2fa.png)
![p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)](/images/math/b/2/6/b26c62ccc925d7b8050ed7dce53a703e.png)
![\forall i:\ x_i\in\mathbb C](/images/math/d/1/5/d15dfba732d2bbd85100da38c54e5ea1.png)
![x_i](/images/math/0/5/e/05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png)
![\begin{align}\Big(x-(a+bi)\Big)\Big(x-(a-bi)\Big)&=x^2-(a+bi+a-bi)x+(a+bi)(a-bi)\\&=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)\\&\in\mathbb R_2[x]\end{align}](/images/math/6/1/a/61a1f23c5b1a056a2e1341e70fad4927.png)
כעת, בהינתן האינטגרל כאשר
נפרק את
ל-
ו-
כנ"ל, נמצא
כנזכר למעלה ונחשב את האינטגרל.
דוגמאות
-
. A ו-B מקיימים
ונקבל -
: האינטגרנד שווה ל-
. נמצא את A,B,C,D: מתקיים
.
נציבואז
.
נציב:
.
נציבונקבל
.
לבסוף נציבואז
.
לפיכך