הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11"
מ (←שברים חלקיים) |
מ (←שברים חלקיים) |
||
שורה 22: | שורה 22: | ||
# <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div> | # <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div> | ||
}} | }} | ||
− | באופן כללי נהפוך את השבר ל-<math>\frac{Bx}{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}+\frac C{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}</math>. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש <math>Bx</math>) נחשב ע"י הצבת <math>y=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4</math>, ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל. | + | באופן כללי נהפוך את השבר ל-<math>\frac{Bx}{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}+\frac C{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}</math>. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש <math>Bx</math>) נחשב ע"י הצבת <math>y=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4</math>, ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל. לחלופין, את שני השברים הללו אפשר להמשיך לחשב לפי שברים חלקיים. |
עתה נשאר לנו ללמוד את השיטה לפירוק פונקציה נתונה לסכום של שברים חלקיים. נעזר במשפט היסודי של האלגברה: אם <math>p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\in\mathbb R_n[x]</math> אז קיים לו פירוק <math>p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)</math> (כאשר <math>\forall i:\ x_i\in\mathbb C</math>). חלק מה-<math>x_i</math>-ים יכולים להיות ממשיים, אבל בכל אופן מספר השורשים הלא ממשיים יהא זוגי. למשל: {{left|<math>\begin{align}\Big(x-(a+bi)\Big)\Big(x-(a-bi)\Big)&=x^2-(a+bi+a-bi)x+(a+bi)(a-bi)\\&=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)\\&\in\mathbb R_2[x]\end{align}</math>}} | עתה נשאר לנו ללמוד את השיטה לפירוק פונקציה נתונה לסכום של שברים חלקיים. נעזר במשפט היסודי של האלגברה: אם <math>p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\in\mathbb R_n[x]</math> אז קיים לו פירוק <math>p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)</math> (כאשר <math>\forall i:\ x_i\in\mathbb C</math>). חלק מה-<math>x_i</math>-ים יכולים להיות ממשיים, אבל בכל אופן מספר השורשים הלא ממשיים יהא זוגי. למשל: {{left|<math>\begin{align}\Big(x-(a+bi)\Big)\Big(x-(a-bi)\Big)&=x^2-(a+bi+a-bi)x+(a+bi)(a-bi)\\&=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)\\&\in\mathbb R_2[x]\end{align}</math>}} |
גרסה מ־15:48, 18 באפריל 2011
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה
דוגמאות
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-.
-
: נציב
ולכן
דרך אחרת:, נציב
ולכן
: נגדיר
ולכן
-
: נגדיר
ואז
-
: נציב
לקבל
-
:
. לפיכך
-
:
ומכאן נובע
-
: אם
אז
נציבואז
- נתון
קבוע וצריך למצוא נוסחת נסיגה ל-
לכל
. ברור כי
. כעת
. לפיכך
לכן.
למשל, עבור
נחשב
:
וכן
. לבסוף:
שברים חלקיים
נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי (
פולינומים). כבר ראינו דוגמה פרטית של השיטה, כאשר פירקנו פונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות, וזה יסוד השיטה.
נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית
כך ש-
ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים:
, כאשר
קבועים ולמכנה
אין שורשים ממשיים (כלומר
).
האינטגרציה של השבר הראשון קלה:
. לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:
-
- כאשר
ולכן
.
- נציב
ואז
:
נציבונסמן
:
כאשרהוא בדיוק אותו
שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.
באופן כללי נהפוך את השבר ל-. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש
) נחשב ע"י הצבת
, ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל. לחלופין, את שני השברים הללו אפשר להמשיך לחשב לפי שברים חלקיים.
![p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\in\mathbb R_n[x]](/images/math/9/2/3/9232048210562f7110c61b9bfb69e2fa.png)
![p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)](/images/math/b/2/6/b26c62ccc925d7b8050ed7dce53a703e.png)
![\forall i:\ x_i\in\mathbb C](/images/math/d/1/5/d15dfba732d2bbd85100da38c54e5ea1.png)
![x_i](/images/math/0/5/e/05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png)
![\begin{align}\Big(x-(a+bi)\Big)\Big(x-(a-bi)\Big)&=x^2-(a+bi+a-bi)x+(a+bi)(a-bi)\\&=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)\\&\in\mathbb R_2[x]\end{align}](/images/math/6/1/a/61a1f23c5b1a056a2e1341e70fad4927.png)
כעת, בהינתן האינטגרל כאשר
נפרק את
ל-
ו-
כנ"ל, נמצא
כנזכר למעלה ונחשב את האינטגרל.
דוגמאות
-
. A ו-B מקיימים
ונקבל -
: האינטגרנד שווה ל-
. נמצא את A,B,C,D: מתקיים
.
נציבואז
.
נציב:
.
נציבונקבל
.
לבסוף נציבואז
.
לפיכך