הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"
(←איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים) |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
== הרחבות של שדות == | == הרחבות של שדות == | ||
שורה 49: | שורה 48: | ||
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>. | '''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>. | ||
+ | |||
+ | == איברים אלגבריים - מבט מעמיק == | ||
+ | |||
+ | '''טענת עזר:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in K</math> אלגבריים. אזי <math>F[a,b]/F</math> הרחבה אלגברית. | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה:''' לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-<math>[F[a,b]:F]<\infty</math>. מתקיים <math>[F[a,b]:F]=[F[a,b]:F[a]]\cdot [F[a]:F]</math> ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה <math>[F[a]:F]<\infty</math> כי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. בנוסף, <math>b</math> אלגברי מעל <math>F</math> ולכן גם מעל <math>F[a]</math>. כעת, אותה טענה גם אומרת כי <math>[F[a,b]:F[a]]<\infty</math> ולכן גמרנו. | ||
+ | |||
+ | '''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in F</math> אלגבריים מעל <math>F</math>, אז גם <math>ab,a+b</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' בהנחות של המסקנה, אם <math>a\neq 0</math> אז גם <math>a^{-1}</math> אלגברי. | ||
+ | |||
+ | '''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות. נסמן ב-<math>A</math> את כל האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. אזי <math>A</math> שדה. למעשה, <math>A</math> הוא תת השדה הגדול ביותר של <math>K</math> שאלגברי מעל <math>F</math>. |
גרסה מ־15:52, 24 בנובמבר 2011
תוכן עניינים
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של
היא כינוי לכל שדה
המכיל את
. לרוב כותבים גם
. באופן טבעי
הוא מרחב וקטורי מעל
. המימד של
מעל
יסומן ב-
(הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: היא הרחבת שדות ממימד סופי.
היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו שדות. אזי
.
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
ו-
הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
אז הקבוצה
היא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
והיא בעלת
איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של
הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש- שדה ו-
תת שדות של
. הקומפוזיטום של
הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את
. הוא יסומן ב-
.
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-
. האיבר
נקרא אלגברי מעל
אם קיים פולינום
כך ש-
. אם לא קיים פולינום כזה,
נקרא טרנסצנדנטי מעל
.
דוגמא: הוא אלגברי מעל
כי הוא מאפס את
. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים
הם טרנסצנדנטיים מעל
.
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-
(וגם ב-
) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה שדה ויהי
שדה השברים של
. קל לבדוק כי
טרנסצנדנטי מעל
. למעשה, כל איבר ב-
הוא טרנסצנדנטי.
הערה: אם שדות ו-
אלגברי מעל
אז הוא גם אלגברי מעל
. (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-
.)
הגדרה: הרחבת שדות נקראת אלגברית אם כל איבר ב-
אלגברי מעל
.
סימון: תהי הרחבת שדות ו-
. מסמנים
.
טענה: תהי הרחבת שדות ו-
. אזי
אלגברי מעל
אם ורק אם המימד של
כמרחב וקטורי מעל
סופי. במקרה זה
שדה.
הוכחה: כוון אחד: נניח ש-. אזי הקבוצה
היא בגודל
ולכן תלויה לינארית מעל
. לכן קיימים
, לא כולם 0, כך ש-
. אם נגדיר
אז
ובעצם הראינו
. לכן
אלגברי מעל
.
כוון שני: נניח שקיים כך ש-
. נסמן
. מספיק להראות ש-
קבוצה פורשת (מעל
) ל-
. יהי
אזי
עבור
כלשהו. קיימים פולינומים
כך ש-
וגם
. אזי
ו-
כי
.
כדי לראות שבמקרה זה שדה, נשים לב ש-
הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל
ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:
תרגיל: יהי תחום שלמות ו-
שדה כך ש-
. אזי
שדה. [רמז: לכל
ההעתקה
היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]
מסקנה: אם הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר
היא הרחבה אלגברית.
תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו
תרגיל: תהי הרחבת שדות ו-
אלגבריים מעל
. הראו כי
שדה. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את
ואת
. (הערה:
מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י
. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)
תרגיל: תהי הרחבת שדות,
אלגבריים מעל
ו-
. הוכיחו כי הקומפוזיטום של
ו-
הוא
.
איברים אלגבריים - מבט מעמיק
טענת עזר: תהי הרחבת שדות ו-
אלגבריים. אזי
הרחבה אלגברית.
הוכחה: לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-. מתקיים
ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה
כי
אלגברי מעל
. בנוסף,
אלגברי מעל
ולכן גם מעל
. כעת, אותה טענה גם אומרת כי
ולכן גמרנו.
מסקנה: אם הרחבת שדות ו-
אלגבריים מעל
, אז גם
אלגבריים מעל
.
תרגיל: בהנחות של המסקנה, אם אז גם
אלגברי.
מסקנה: תהי הרחבת שדות. נסמן ב-
את כל האיברים ב-
שאלגבריים מעל
. אזי
שדה. למעשה,
הוא תת השדה הגדול ביותר של
שאלגברי מעל
.