הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
מ |
מ |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן: | להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן: | ||
− | * <math>f</math> | + | * <math>f,g</math> פונקציות. |
* <math>a_n,b_n</math> הם מקדמי פורייה בטור פורייה של <math>f</math>, ו־<math>c_n</math> מקדמי פורייה בטור פורייה המרוכב. | * <math>a_n,b_n</math> הם מקדמי פורייה בטור פורייה של <math>f</math>, ו־<math>c_n</math> מקדמי פורייה בטור פורייה המרוכב. | ||
− | * <math>n!!</math> היא ''העצרת הכפולה'' של <math>n</math>, והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם <math>n</math> אי־זוגי) מ־1 עד <math>n</math>, או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: <math>(2n-1)!!=\prod_{k=1}^n (2k-1)</math> ו־<math>(2n)!!=\prod_{k=1}^n | + | * <math>n!!</math> היא ''העצרת הכפולה'' של <math>n</math>, והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם <math>n</math> אי־זוגי) מ־1 עד <math>n</math>, או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: <math>(2n-1)!!=\prod_{k=1}^n (2k-1)</math> ו־<math>(2n)!!=\prod_{k=1}^n 2k=2^n n!</math>. |
+ | * <math>\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> אורתונורמלית ו־<math>\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> אורתוגונלית. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
* '''אי־שיוויון הולדר:''' אם <math>x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q</math> כאשר <math>\frac1p+\frac1q=1</math> (כלומר, <math>\ell_p,\ell_q</math> צמודים) אזי <math>\sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q</math>. | * '''אי־שיוויון הולדר:''' אם <math>x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q</math> כאשר <math>\frac1p+\frac1q=1</math> (כלומר, <math>\ell_p,\ell_q</math> צמודים) אזי <math>\sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q</math>. | ||
שורה 20: | שורה 23: | ||
:* מתקיים <math>\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\left(|a_n|^2+|b_n|^2\right)\le\|f\|^2</math> | :* מתקיים <math>\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\left(|a_n|^2+|b_n|^2\right)\le\|f\|^2</math> | ||
* המערכת <math>\left\{\mathrm e^{\mathrm inx}\right\}_{n\to-\infty}^\infty</math> אורתונורמלית סגורה ב־<math>E</math>. | * המערכת <math>\left\{\mathrm e^{\mathrm inx}\right\}_{n\to-\infty}^\infty</math> אורתונורמלית סגורה ב־<math>E</math>. | ||
− | * טור פורייה המרוכב של <math>f</math> הוא <math>\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\mathrm e^{\mathrm inx}</math> כאשר <math>\forall n:\ c_n:=\langle f,\mathrm e^{ | + | * טור פורייה המרוכב של <math>f</math> הוא <math>\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\mathrm e^{\mathrm inx}</math> כאשר <math>\forall n:\ c_n:=\langle f,\mathrm e^{\mathrm inx}\rangle</math>. |
− | :* מתקיים <math>\forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{ | + | :* מתקיים <math>\forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_{|n|}-\sgn(n)\mathrm ib_{|n|}}2</math> וכן <math>a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n})</math>. |
+ | * אם <math>f\in E</math> ו־<math>S_N</math> הסכום החלקי ה־<math>N</math>־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של <math>f</math>, אזי <math>\lim_{N\to\infty}\|f-S_N\|=0</math>. | ||
* <math>E'</math> הוא מרחב כל הפוקנציות ב־<math>E</math> שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה למעט, אולי, בקצות הקטע. | * <math>E'</math> הוא מרחב כל הפוקנציות ב־<math>E</math> שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה למעט, אולי, בקצות הקטע. | ||
* '''משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה):''' תהי <math>f\in E'</math> אינטגרבילית בהחלט ובעלת מחזור <math>2\pi</math>. בכל נקודה בה קיימת נגזרת טור פורייה מתכנס ל־<math>f</math>. | * '''משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה):''' תהי <math>f\in E'</math> אינטגרבילית בהחלט ובעלת מחזור <math>2\pi</math>. בכל נקודה בה קיימת נגזרת טור פורייה מתכנס ל־<math>f</math>. | ||
:* אם <math>x_0</math> נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־<math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2</math>. | :* אם <math>x_0</math> נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־<math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2</math>. | ||
* '''למת רימן־לבג:''' אם <math>f</math> אינטגרבילית בהחלט אזי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0</math> כאשר <math>n\in\mathbb R</math> (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה). | * '''למת רימן־לבג:''' אם <math>f</math> אינטגרבילית בהחלט אזי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0</math> כאשר <math>n\in\mathbb R</math> (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה). | ||
− | * '''גרעין דיריכלה:''' <math>\frac12+\sum_{k=1}^n \cos( | + | * '''גרעין דיריכלה:''' <math>\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kx)=\frac{\sin\!\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\!\left(\frac x2\right)}</math>. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־<math>(-\pi,\pi)</math> שווה ל־<math>\pi</math>. |
− | * אם <math>f</math> רציפה | + | * אם <math>f</math> רציפה ב־<math>[-\pi,\pi]</math> ו־<math>f(-\pi)=f(\pi)</math> אז טור פורייה של <math>f</math> יתכנס אליה בכל הקטע. |
:* אם בנוסף <math>f\in E'</math> אזי טור פורייה של <math>f</math> מתכנס אליה במ״ש על הקטע. | :* אם בנוסף <math>f\in E'</math> אזי טור פורייה של <math>f</math> מתכנס אליה במ״ש על הקטע. |
גרסה מ־15:17, 16 בספטמבר 2012
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
-
פונקציות.
-
הם מקדמי פורייה בטור פורייה של
, ו־
מקדמי פורייה בטור פורייה המרוכב.
-
היא העצרת הכפולה של
, והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם
אי־זוגי) מ־1 עד
, או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר:
ו־
.
-
אורתונורמלית ו־
אורתוגונלית.
- אי־שיוויון הולדר: אם
כאשר
(כלומר,
צמודים) אזי
.
- אם
אזי
.
- ההיטל של
על
הוא
.
- אם
בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־
ב־
הוא
, כלומר
.
- אי־שיוויון בסל:
.
- תהליך גרם־שמידט: בהנתן בסיס
נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי
ובסיס אורתונורמלי
באופן הבא:
- מרחב הפולינומים ממעלה
או פחות מסומן
.
- פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית
על מרחב הפולינומים
, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס
הם
ניתן לחשב אותם גם ע״יאו
, והם מקיימים
.
- פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית
על מרחב הפולינומים
, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס
הם
ניתן לחשב אותם גם ע״י(נוסחת רודריגז) או
, והם מקיימים
.
- פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין יוצרות מרחב מכפלה פנימית
עם
(במקרה הממשי) או
(במקרה המרוכב).
- מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית
במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור
את התנאי
.
- המערכת
אורתונורמלית סגורה ב־
.
- טור פורייה של
הוא
כאשר
ו־
.
- אם
זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
- מתקיים
- אם
- המערכת
אורתונורמלית סגורה ב־
.
- טור פורייה המרוכב של
הוא
כאשר
.
- מתקיים
וכן
.
- מתקיים
- אם
ו־
הסכום החלקי ה־
־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של
, אזי
.
-
הוא מרחב כל הפוקנציות ב־
שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה למעט, אולי, בקצות הקטע.
- משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי
אינטגרבילית בהחלט ובעלת מחזור
. בכל נקודה בה קיימת נגזרת טור פורייה מתכנס ל־
.
- אם
נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־
.
- אם
- למת רימן־לבג: אם
אינטגרבילית בהחלט אזי
כאשר
(זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
- גרעין דיריכלה:
. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־
שווה ל־
.
- אם
רציפה ב־
ו־
אז טור פורייה של
יתכנס אליה בכל הקטע.
- אם בנוסף
אזי טור פורייה של
מתכנס אליה במ״ש על הקטע.
- אם בנוסף