סילבוסים

88-112 אלגברה לינארית 1

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א' (קיץ לתלמידי התיכון).

1. שדות – הגדרות, דוגמאות (הממשיים, הרציונליים, המרוכבים, השדות [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]) ותכונות יסוד. מאפיין.
2. מערכות משוואות ליניאריות (שיטת האלימינציה של גאוס, הקשר בין מספר המשוואות, מספר המשתנים, וקיום פתרון או פתרונות. מרחב האפסים והפתרון למערכת לא הומוגנית).
3. מרחבים וקטורים. קבוצה פורשת, תלות ליניארית, בסיס. הקשר ללמת צורן (בקצרה), מימד. המרחבים [math]\displaystyle{ \ F^n }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \ F[x] }[/math].
4. קואורדינאטות של וקטור לפי בסיס.
5. תת-מרחבים. סכום של תת-מרחבים, חיתוך של תת-מרחבים. משפט המימדים. סכום ישר.
6. מטריצות (מלבניות וריבועיות) – חיבור, כפל, תכונות יסוד. דרגה של מטריצה (דרגת השורות שווה לדרגת העמודות).
7. מטריצות אלמנטריות ופעולות על שורות ועמודות.
8. הצגת מטריצה הפיכה כמכפלת מטריצות אלמנטריות. חישוב המטריצה ההופכית.
9. העתקות ליניאריות בין מרחבים. איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים.
10. הצגת העתקה ליניארית כמטריצה לפי בסיסים, ומטריצות מעבר בין בסיסים כמקרה פרטי.
11. מעבר מבסיס לבסיס עבור הצגה של העתקה כמטריצה. מטריצות דומות.
12. [math]\displaystyle{ \ \operatorname{im}(T) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \ \operatorname{ker}(T) }[/math].
13. הקשר בין תכונות המטריצה המייצגת לתכונות ההעתקה (דרגה ומימדים), המשפט על [math]\displaystyle{ \dim(kerT)+\dim(ImT) }[/math], ומסקנתו למטריצות rankA+dim(nullA).
14. תמורות, הרכבת תמורות. זוגיות של תמורה.
15. דטרמיננטות (הגדרה כללית, נוסחאות למטריצות מסדר 2 או 3). פיתוח לפי שורה או עמודה. הקשר לפעולות אלמנטריות.
16. דטרמיננטה של מכפלת מטריצות.
17. המטריצה הנלוית adj(A) ותכונותיה. נוסחאות קרמר לחישוב ההופכי (כאשר detA≠0).

תקצירים מפורטים: העתקות לינאריות , דטרמיננטות.

88-113 אלגברה לינארית 2

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב' (סמסטר א' לתלמידי התיכון).

1. ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים. ריבוי גיאומטרי.
2. הפולינום האופייני. ריבוי אלגברי. משפט קיילי-המילטון.
3. תת-מרחב אינווריאנטי. דמיון למטריצה משולשת. מטריצות לכסינות.
4. הפולינום המינימלי. גורמים אי-פריקים של הפולינום האופייני והמינימלי.
5. צורת ג'ורדן. פירוק מטריצות לבלוקים.
6. מרחבי מכפלה פנימית. הנורמה המושרה.
7. בסיס אורתוגונלי ואורתונורמלי. תהליך גרהם-שמידט.
8. משפט ריס (במימד סופי).
9. טרנספורמציות נורמליות, הרמיטיות, אוניטריות.
10. ליכסון אוניטרי של מטריצות נורמליות מרוכבות וליכסון אורתוגונלי של מטריצות סימטריות ממשיות.
11. פונקציונלים והמרחב הדואלי.

תקציר מפורט (של מרבית הקורס), חוברת על משפט ג'ורדן.

88-132 חשבון אינפינטיסימלי 1

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

1. המספרים הממשיים
   1. שדות, שדות סדורים, תכונת ארכימדס
   2. תכונות היסוד של הממשיים; שלמותם וצפיפות הרציונאליים בתוכם
   3. קבוצות חסומות, החסם העליון והחסם התחתון
2. סדרות
   1. התכנסות והתבדרות, ושאיפה ל-
   2. פעולות אריתמטיות על סדרות ואי-שוויונות בין סדרות וגבולותיהן
   3. סדרות מונוטוניות ויישומן בהגדרת "e" וחזקות של "e" ובהוכחת למת קנטור
   4. תת-סדרות וגבולות חלקיים, משפט בולצאנו-וירשטרס, גבול עליון וגבול תחתון
   5. נקודות הצטברות ומשפט בולצאנו-וירשטרס הטופולוגי
3. טורים עם איברים קבועים
   1. סכומים חלקיים והגדרת התכנסות; משפטי ההתכנסות היסודיים
   2. טורים חיוביים ומשפטי התכנסות עבורם
   3. התכנסות בהחלט ועל תנאי, משפט לייבניץ, חוק החילוף, ומשפט רימן
   4. משפט אבל, כפל של טורים
4. פונקציות ממשיות של משתנה אחד
   1. מושג הפונקציה, הגרף של פונקציה, וסקירת הפונקציות האלמנטאריות
5. גבול של פונקציה
   1. הגדרת הגבול לפי קושי ולפי היינה (ע"י סדרות)
   2. גבולות חד-צדדיים
   3. משפטי הגבול היסודיים
6. פונקציות רציפות
   1. הגדרת רציפות בנקודה ובקטע
   2. משפטי הרציפות היסודיים
   3. מיון של נקודות אי-רציפות
   4. תכונות היסוד של פונקציות רציפות; משפט ערך הביניים, קבלת מקסימום ומינימום בכל קטע סגור
   5. רציפות במידה שווה
   6. קומפקטיות, משפט היינה-בורל
   7. פונקציות הפיכות והפוכות
   8. הפונקציה ax
7. הנגזרת
   1. הגדרת הנגזרת ומשמעותה הגיאומטרית והפיסיקלית
   2. הכללים היסודיים של גזירה; חוק השרשרת; גזירת הפונקציה ההפוכה; נגזרות של פונקציות אלמנטאריות
   3. נגזרת מסדר כלשהו

88-133 חשבון אינפינטיסימלי 2

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

1. המשפטים היסודיים של החשבון הדיפרנציאלי
   1. משפטי פרמה, רול, לגרנג' וקושי
   2. כלל לופיטל
   3. נוסחת טיילור הסופית עם שארית; הערכת השארית
   4. חישובים מקורבים בעזרת נוסחת טיילור
2. סדרות וטורים של פונקציות
   1. התכנסות נקודתית ובמידה שווה.
   2. ציפות הפונקציה הגבולית.
   3. גזירה איבר-איבר.
3. טורי חזקות
   1. התכנסות והתכנסות במידה שווה של טורי חזקות.
   2. רדיוס ההתכנסות.
   3. גזירה של טורי חזקות.
   4. פיתוח פונקציות אלמנטריות לטורי חזקות.
   5. חישובים מקורבים בעזרת טורי חזקות.
4. האנטגרל הלא מסויים
   1. הגדרה והכללים הבסיסיים.
   2. חישוב אנטגרלים לפי פירוק, אנטגרציה לפי חלקים, שיטת ההצבה ושינוי משתנה.
5. האינטגרל המסוים
   1. סכומי רימן והגדרת האינטגרל על פיהם.
   2. סכומי דרבו והאינטגרל העליון והתחתון.
   3. תנאים הכרחיים ומספיקים לאינטגרביליות.
   4. אינטגרביליות של פונקציות רציפות למקוטעין ופונקציות מונוטוניות למקוטעין.
   5. התכונות היסודיות של פונקציות אנטגרביליות ושל האנטגרל המסויים.
   6. המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי.
   7. משפט הערך הממוצע עבור אנטגרלים, נוסחת דרבו.
6. אינטגרלים לא אמיתיים
   1. אינטגרלים שגבולותיהם אינסופיים.
   2. אינטגרלים של פונקציות לא חסומות.
   3. מבחני התכנסות והתכנסות בהחלט.
   4. המבחן האינטגרלי להתכנסות של טורי מספרים.
7. פונקציות בעלות השתנות חסומה

88-151 שימושי מחשב במתמטיקה

שעות. 2 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר ב'.

1. הקדמה כללית ל-Maple ול-Matlab. היכרות עם הממשקים.
2. משתנים והשמה. סוגים שונים של משתנים ב-Maple, בניית מטריצות ב-Matlab.
3. תיכנות פשוט: for, if, while וכו'.
4. פונקציות ב-Maple וב-Matlab.
5. פתרון משוואות: הפונקציות הסטנדרטיות הרלוונטיות (solve ו-fsolve ב-Maple, fzero ו- roots ב-Matlab), שיטת ניוטון.
6. נקודות קיצון: פתרון בעיות אנליטיות ב-Maple, שימוש ב-fminsearch ב-Matlab.
7. אינטגרציה: פתרון בעיות אנליטיות ב-Maple, quad ו-dblquad ב-Matlab, כלל הטרפז.
8. כלים אחרים לחדו"א ב-Maple. גבולות, סדרות, טורים, סכומים, מכפלות, טורי טיילור וכו'.
9. כלים לאלגברה ליניארית ב-Matlab. דגש על (א) הפתרון של מערכות ליניאריות, במקרים של חוסר ועודף אילוצים בנוסף למקרה המאוזן ו-(ב) מציאת ערכים וווקטורים עצמיים.
10. גרפיקה ב-Maple וב-Matlab. כלים שונים לייצור איורים דו- ותלת-מימדיים.
11. גאומטריה אנליטית. פתרון בעיות עם נקודות, ישרים, מעגלים, מישורים וכו'. המיון של עקומות ריבועיות במישור ומשטחים ריבועיים במרחב.

88-165 מבוא להסתברות וסטטיסטיקה

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב' (קיץ לתלמידי התיכון).

1. מבוא לקומבינטוריקה: תמורות, בחירה עם החזרה וללא החזרה כשיש וכשאין חשיבות לסדר. מקדמים בינומיים ומולטינומיים. משולש פסקל, משפט הבינום והכללות. עקרון ההכלה וההדחה.
2. מרחבי הסתברות בדידים: הגדרה, מאורעות, תכונות של פונקצית ההסתברות. נוסחת ההכלה וההדחה. הסתברות מותנית, נוסחת ההסתברות השלמה, חוק בייס. תלות ואי-תלות, אי-תלות משותפת.
3. משתנים מקריים בדידים: הגדרה, דוגמאות, הקשר למאורעות. ממוצע של מדגם. תוחלת של משתנה ושל פונקציה. התפלגות משותפת. תוחלת מותנה, תוחלת חוזרת. שונות של מדגם. שונות של משתנה מקרי. נוסחת הפירוק לשונות. שונות משותפת ומקדם המתאם, תכונות של תוחלת ושונות, מומנטים. סטטיסטיי הסדר.
4. התפלגויות בדידות: אחידה, ברנולי, בינומית, פואסון, גאומטרית, בינומית שלילית, היפר-גאומטרית. קשרים בין התפלגויות לרבות קירוב פואסוני להתפלגות בינומית. דוגמאות.
5. מרחב הסתברות כללי. סיגמא-אלגברות. אלגברת בורל ומשתנים מקריים ממשיים.
6. פונקצית התפלגות והקשר למשתנים מקריים. פונקצית צפיפות. משתנים רציפים. צפיפות משותפת, צפיפות שולית וצפיפות מותנית. טרנספורמציה של משתנים (חד-ממדית, דו-ממדית). קונבולוציה. תוחלת, שונות, מקדם מתאם ומומנטים עבור משתנים רציפים.
7. התפלגויות רציפות: אחידה, מעריכית, נורמלית תקנית; נורמלית. התפלגות כי-בריבוע, התפלגות t והתפלגות F.
8. אי-שוויוני מרקוב וצ'ביצ'ב. פונקציות יוצרות מומנטים: דוגמאות ושימושים. החוק החלש של המספרים הגדולים. החוק החזק (ללא הוכחה). הבדלים ודוגמאות. משפט הגבול המרכזי (עם הוכחה בהנחת היחידות של פונקציה יוצרת מומנטים). הקירוב הנורמלי להתפלגות בינומית (לפי CLT, ללא חסמים). דוגמאות (מהלך מקרי).
9. אופציונאלי: שרשראות מרקוב סופיים: דוגמאות, התפלגות סטציונרית, הסתברויות ספיגה ותוחלת של זמן המתנה.
10. אוכלוסיה ומדגם. תוחלת ושונות של הממוצע. אמידה נקודתית, אומד חסר הטיה. שיטת הנראות המכסימלית ואומד נראות מכסימלית. אמידה של תוחלת ושונות בהתפלגות נורמלית.
11. רווחי סמך: רווח סמך לתוחלת בהתפלגות נורמלית (שונות ידועה ולא ידועה). רווח סמך לשונות. רווח סמך להפרש תוחלות עם שונויות ידועות; לא ידועות אך שוות; לא ידועות.
12. בדיקת השערות (כאשר H0 נקודתית): טעות מסוג ראשון וטעות מסוג שני. הערכת גודל המדגם. בדיקת השערות על התוחלת בהתפלגות נורמלית (חד-צדדית ודו-צדדית).

88-170 מבוא לחישוב

שעות. 2 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

1. מבוא למחשב
2. משתנים וטיפוסים
3. אופרטורים
4. תנאים וללואות
5. פונקציות
6. מערכים ומחרוזות
7. מצביעים
8. הקצאות זכרון דינאמיות
9. מבנים
10. רקורסיה
11. קבצים וקדם-מהדר
12. סיביות ונספחים
13. השלמות וחזרה

88-174 תכנות מונחה עצמים

שעות. 2 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

1. מבוא ל C++, הגדרת טיפוס נתונים מופשט, מבוא לתכנות מונחה עצמים.
2. הגדרת מחלקה, הגדרת אובייקט, מתודות ותכונות של מחלקה, עקרון הסתרת המידע, פרטי וציבורי.
   1. יצירת טיפוס נתונים חדש על ידי שימוש באובייקטים קיימים.
   2. פונקציות בניה והריסה, פונקציות העתקה, יצירה דינאמית, סדר בניה והריסה, שורת איתחול.
   3. אובייקטים זמניים, הגדרת אופרטורים כחברי מחלקה, אופרטור השמה, בנאי ישיר.
   4. יצירת טיפוסים חדשים ממחלקות קיימות, מחלקות בסיס ומחלקות בן, סדר קריאה בבניה והריסה, ירושה מרובה וירושה וירטואלית.
3. פונקציות וירטואליות וטבלאות וירטואליות, מחלקות ממשיות ואבסטרקטיות, RTTI.
   1. שימוש במשתנים, אובייקטים קבועים, משתנים ופונקציות סטטיים, פונקציות inline, namespaces.
   2. שימוש בספריות fstream.
   3. שימוש ב-containers, הכרות עם ספריית ה-STL.
   4. עקרונות עיצוב וניתוח מונחה עצמים, הכרות עם design patterns.

88-195 מתמטיקה בדידה

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א' (קיץ לתלמידי התיכון).

1. לוגיקה 1: קשרים לוגיים, טבלאות אמת, כמתים ואיך להשתמש בהם. שקילות לוגית, חוקי דה מורגן.
2. לוגיקה 2: הוכחות. הוכחה בדרך השלילה.
3. מבוא לתורת הקבוצות: קבוצה, איברים, השתייכות, תיאור קבוצה ע"י רשימה וע"י תכונה, שוויון קבוצות, שלילה של כמתים (אי-שיויון קב'), הכלה, קבוצה ריקה, איחוד, דיאגרמת וון, לוח השתייכות, חיתוך, קבוצות זרות, הפרש, הפרש סימטרי, קיבוץ/אסוציאטיביות, פילוג/דיסטריביוטיביות, משלים בתוך קבוצה, משפטי דה-מורגן, איחוד כללי, חיתוך כללי, קבוצת החזקה, זוג סדור, מכפלה קרטזית.
4. יחסים: יחס, יחס רפלקסיבי, סימטרי, טרנזיטיבי, יחס שקילות, הסגור הטרנזיטיבי של יחס, מחלקת השקילות, חלוקה, היחס המושרה ע"י חלוקה, קבוצת המנה.
5. יחסי סדר: סדר חלקי, דיאגרמות Hasse, איבר מינימלי, איבר מקסימלי, איבר קטן ביותר (קטן מכל האחרים), איבר גדול ביותר, היחס ההפוך, חסם מלעיל/מלרע, חסם עליון /סופרמום, חסם תחתון/אינפימום, שריג, סדר מלא/קוי.
6. מבוא לפונקציות: תחום ותמונה של יחס, יחס חד-ערכי, פונקציה, פונקציה חח"ע, פונקציה על, הרכבת פונקציות, מסקנות מחח"ע/על של הרכבה, פונקצית הזהות, פונקציה הפיכה, יחידות ההופכית, אפיון הפיכה כחח"ע ועל, תמונה ומקור של קבוצות, תמונה הפוכה ותמונה של איחוד/חיתוך, הפונקציה המצומצמת, משפט ההרחבה של פונקציות, פונקציות מוגדרות היטב על קבוצת מנה.
7. השוואת עוצמות: שויון עוצמות, קבוצה סופית/אינסופית, המלון של הילברט, (מוגדר היטב, רפלקסיבי וטרנזיטיבי), קב' בת-מניה, אלף-אפס הוא הקטן מכל העוצמות האינסופיות, הקשר בין עוצמות כשיש פונקציה על, משפט קנטור-ברנשטיין, משפט קנטור על עוצמת קבוצת החזקה.
8. חזקות של עוצמות ועוצמת הרצף: חזקת עוצמות, פונקציות אופייניות, העוצמה של קבוצת החזקה, עוצמת הרצף, תכונות בסיסיות של חזקות של עוצמות, עוצמה של איחוד משפחה של קבוצות.
9. הלמה של צורן (כאקסיומה, ללא הוכחה), משפט הסכום והמכפלה של עוצמות: שרשרת בסדר חלקי, הלמה של צורן (עבור סדר חלקי ועבור משפחת קבוצות עם הכלה), מלאות אי"ש עוצמות, סכום עוצמות, מכפלת עוצמות, עוצמת הרציונלים, איחוד בן-מניה של קבוצות בנות-מניה הוא בן-מניה.
10. תורת הגרפים - מבוא ומסלולי אוילר: גרף (לא מכוון, בלי לולאות) כיחס סימטרי, התיאור הקונבציונלי כקבוצה עם אוסף זוגות לא סדורים, תת-גרף, שכן, משפט לחיצת הידיים, מסלול, גרף קשיר, רכיבי קשירות, מסלול אוילר, מעגל אוילר, בעיית הגשרים של קניגסברג, משפט אוילר, מסלול ומעגל המילטוני.
11. משפחות מיוחדות של גרפים: גרף שלם ומס' צלעותיו, גרף דו-צדדי, גרף דו-צדדי שלם ומס' צלעותיו, עץ, יער, עלה, תנאים שקולים לעץ.

88-201 גאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב' (קיץ לתלמידי התיכון).

1. גאומטריה אנליטית (3-4 שבועות)
   1. ווקטורים במישור ובמרחב. המכפלות הסקלרית, הווקטורית והמשולשת. שטח של מקבילית ונפח של מקבילון. שיקופים, סיבובים והחבורה האוקלידית.
   2. גאומטריה של המישור: עקומות (הצגות מפורשות, סתומות ופרמטריות). המיון של עקומות ריבועיות. תכונות גאומטריות של מעגלים, אליפסות, היפרבולות ופרבולות. קואורדינטות קוטביות.
   3. גאומטריה תלת-מימדית: ישרים ומישורים במרחב. משוואות של עקומות ומשטחים במרחב. המיון של משטחים ריבועיים. קואורדינטות קוטביות וגליליות.
2. גאומטריה דפרנציאלית (6 שבועות)
   1. עקומות במרחב: אורך, שקילות של עקומות, עיקום, עיקול ומשוואות פרנה-סרה. המשפט היסודי של עקומות.
   2. משטחים: המישור המשיק, התבנית היסודית הראשונה, אורך ושטח. קווים גאודזיים (כנקודות שבת של האנרגיה). העתקת גאוס, התבנית היסודית השניה, עיקום נורמלי, עיקום עיקרי, עיקום גאוס ועיקום ממוצע. המשפט של גאוס Theorema Egregium והמושג של גאומטריה עצמית. (לפי זמן – משוואות Mainardi-Codazzi והמשפט היסודי של משטחים).
3. דוגמאות והכללות. (3-4 שבועות)
   1. גאומטריה ספרית: ישרים ספריים, משולשים ספריים (חוק הסינוסים, חוק הקוסינוסים, שטח), הטלה סטראוגרפית, טרנספורמציות מוביוס.
   2. מבוא לגאומטריה היפרבולית: המודלים של פאונקרה למישור ההיפרבולי והמטריקות שלהם. קווים גאודזיים. משולשים היפרבולים (חוק הסינוסים, חוק הקוסינוסים, שטח). חבורת האיסומטריות.
   3. גאומטריה ללא מטריקה: אקסיומות לגאומטריה היפרבולית. מרחב אפיני ומרחב פרוייקטיבי. אקסיומות לגאומטריה פרוייקטיבית.

88-202 תורת הקבוצות

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

1. האקסיומות של תורת הקבוצות: פרדוקסים של שפה טבעית (בארי) ופרדוקסים מתמטיים (ראסל), שפה מתמטית, אקסיומות ZFC.
2. מספרים סודרים: קבוצות סדורות היטב, המשפט על השוואת קבוצות סדורות היטב, מספרים סודרים, סודרים כצורות קאנוניות של קבוצות סדורות היטב, טיפוס סדר של קבוצה סדורה היטב, חיבור סודרים, כפל סודרים.
3. אינדוקציה טרנספיניטית: מחלקות ופונקציות מחלקה, משפט האינדוקציה הטרנספיניטית, הגדרה ברקורסיה טרנספיניטית. שימושים: הוכחת עקרון הסדר הטוב, הוכחת הלמה של צורן, קבוצת ברנשטיין. חזקות סודרים ומשפט Goodstein.
4. עוצמות וקופינליות: עוצמות כסודרים תחיליים. מסקנות: השוואת עוצמות היא טרנזיטיבית, אנטי-סימטרית (משפט קנטור-ברנשטיין), ומלאה. האלפים של קנטור. קופינליות של סודר ותכונותיה הבסיסיות, למת קניג והאילוץ על עוצמת הרצף, חשבון עוצמות בסיסי, סכומים ומכפלות כלליים של עוצמות.
5. מערכות המספרים: הטבעיים (ממומשים ע"י אומגה), השלמים והרציונלים (ע"י מחלקות שקילות), הממשיים (חתכי דדקינד) ותכונותיהם הבסיסיות (כולל תכונת החסם העליון מאינפי'). כל סדר קוי בן מניה צפוף לא חסום הוא איזומורפי-סדר לרציונלים (טיעון הלוך-ושוב של קנטור), שימוש: גרפים אקראיים בני מניה הם איזומורפיים בהסתברות 1, הממשיים הם הסדר השלם היחיד שיש בו קבוצה צפופה איזומורפית-סדר לרציונלים. היחידות של שדה סדור שלם.
6. השערת הרצף: משפט קנטור-בנדיקסון.

88-211 אלגברה מופשטת 1

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א' (קיץ לתלמידי התיכון).

1. מבוא.
   1. חבורות למחצה ומונוידים – הגדרה אקסיומטית. יחידה מימין ומשמאל, הפכי מימין ומשמאל. מונויד סופי עם צמצום הוא חבורה.
   2. אקסיומות החבורה. תכונות בסיסיות. חבורות אבליות ולא אבליות. דוגמאות: חבורות מטריצות וחבורות חפשיות. מכפלה ישרה חיצונית.
   3. תת-חבורות, המרכז, יוצרים ויחסים.
   4. מחלקות ימיניות ושמאליות, משפט לגרנז'. האינדקס של תת-חבורה. סדר של איבר. המשפט הקטן של פרמה. חבורות ציקליות ומיונן.
   5. חבורת אוילר. משפט אוילר.
   6. מכפלה של תת-חבורות.
2. הומומורפיזמים.
   1. הומומורפיזם ואיזומורפיזם.
   2. תת-חבורות נורמליות וחבורות מנה. חבורות פשוטות.
   3. משפטי האיזומורפיזם.
   4. הצגה על-ידי יוצרים ויחסים.
3. החבורות הסימטריות.
   1. החבורות הסימטריות. הצמדה ומבנה מחזורים.
   2. הומומורפיזם הסימן. חבורת התמורות הזוגיות. הוכחה ש-An פשוטה ושאין ל-Sn תת-חבורות נורמליות אחרות.
4. פעולת חבורה על קבוצה.
   1. פעולת חבורה על קבוצה, מסלולים ומייצבים. פעולה טרנזיטיבית.
   2. חבורות דיהדרליות.
   3. משפט קיילי.
   4. מחלקות צמידות. מרכז ומנרמל.
   5. חבורת האוטומורפיזמים.
5. משפטי סילו.
   1. חבורות-p ומשפט קושי.
   2. משפטי סילו: הוכחה, יישומים.
6. חבורות אבליות.
   1. האקספוננט. משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית.
7. סדרות הרכב.
   1. סדרות נורמליות וסדרות הרכב.
   2. חבורת הקומוטטורים. חבורות פתירות. כאשר N נורמלית ב-G, G פתירה אם ורק אם N ו- G/N פתירות.
   3. סדרות מרכזיות. חבורה נילפוטנטית. הסדרה המרכזית העולה והיורדת.

דרישות קדם. אלגברה לינארית 2.

אתר הקורס. 88-211 אלגברה מופשטת 1

88-212 אלגברה מופשטת 2

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

1. מבוא.
   1. הגדרה אקסיומטית. דוגמאות.
   2. תת-חוג. אידיאל ימני ושמאלי. אידיאל. אידיאל ראשי.
   3. פעולות באידיאלים: סכום, מכפלה, חיתוך.
2. משפטי איזומורפיזם.
   1. חוג מנה.
   2. אידיאל ראשוני ומקסימלי. חוג ראשוני וחוג פשוט. כל אידיאל מקסימלי הוא ראשוני. חוג פשוט קומוטטיבי הוא שדה.
   3. כל אידיאל מוכל באידיאל מקסימלי.
   4. משפטי האיזומורפיזם. משפט ההתאמה על אידיאלים.
   5. משפט השאריות הסיני.
3. תחומי שלמות.
   1. מחלקי אפס וההגדרה של תחומי שלמות. חוג ראשוני קומוטטיבי הוא תחום שלמות.
   2. תחום שלמות = תת-חוג של שדה.
   3. איברים הפיכים. יחס החילוק ויחס החברות. תרגום לשפת האידיאלים הראשיים.
   4. איבר ראשוני ואי-פריק. כל איבר ראשוני הוא אי-פריק.
   5. חוג אוקלידי. דוגמאות: השלמים; חוגי פולינומים מעל שדה.
   6. חוג ראשי. כל חוג אוקלידי הוא ראשי. בחוג ראשי, אם a אי-פריק אז Ra מקסימלי. לכן: איבר אי-פריק הוא ראשוני; אידיאל ראשוני לא 0 הוא מקסימלי.
   7. תחום פריקות יחידה. כל חוג ראשי הוא תחום פריקות יחידה. כל איבר אי-פריק הוא ראשוני.
4. פולינומים ושדות.
   1. בחוג הפולינומים מעל שדה, לכל פולינום יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים.
   2. הומומורפיזם ההצבה ופולינום מינימלי. איבר אלגברי והמעלה של איבר.
   3. סיפוח שורש של פולינום אי-פריק. לכל פולינום, מעל כל שדה, יש שדה מפצל.
   4. תכולה של פולינום מעל תחום פריקות יחידה, והלמה של גאוס. הרחבת תחום פריקות יחידה במשתנה אחד שומרת על תכונה זו.
   5. קריטריון אייזנשטיין. קיום שורשים רציונליים.
5. מודולים.
   1. הגדרה. דוגמאות. משפטי האיזומורפיזם.
   2. קבוצה פורשת. מודול נוצר סופית.
   3. קבוצה בלתי-תלויה. בסיס. מודול חופשי. דרגה. מודול ציקלי.
   4. מעל חוג ראשי תת-מודול של מודול חופשי הוא חופשי.
   5. משפט המבנה למודולים נוצרים סופית מעל תחום ראשי. שימושים למיון חבורות אבליות נוצרות סופית ולצורה הרציונלית של מטריצות. צורת ז'ורדן.

דרישות קדם. אלגברה מופשטת 1 או 89-214 (מבנים אלגבריים 1 למדעי המחשב).

אתר הקורס: 88-212 אלגברה מופשטת 2

88-222 טופולוגיה

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

1. מרחבים מטריים: פונקציות רציפות, תתי מרחבים, קבוצות פתוחות, קומפקטיות.
2. הגדרת מרחב טופולוגי, רציפות, תתי מרחבים, סגור של קבוצה, צפיפות.
3. קשירות: תכונות, מרכיבי קשירות, תתי המרחב הקשירים של הממשיים.
4. קשירות מסילתית: תכונות, מרכיבי קשירות מסילתית. דוגמה למרחב קשיר שאינו קשיר מסילתית.
5. מרחבים קומפקטיים: תכונות, יחסים בין תכונת הקומפקטיות לתכונת האוסדורף
6. מרחבי מנה: תכונות, דוגמאות.
7. טופולוגית המכפלה, משפט טיכונוף.
8. תכונות הפרדה: הכרת תכונות ההפרדה השונות, והקשרים ביניהם. הלמה של יוריסון. פיצול יחידה.
9. הגדרת יריעה, שיכון של יריעה במרחב אוקלידי.

88-230 חשבון אינפינטיסימלי 3

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

1. המרחב [math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math]: חיבור ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math] וכפל בסקלר. ישרים והיפר מישורים ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math], המכפלה הוקטורית (ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^3 }[/math]). הטופולוגיה של [math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math] לפי הנורמות השקולות [math]\displaystyle{ \ \vert\cdot\vert_p }[/math], קבוצות פתוחות וסגורות קומפקטיות וקשירות.
2. תורת הגבולות ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math]: גבול של פונקציות ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math], רציפות של פונקציות, אריתמטיקה של גבולות, גבולות חוזרים, מסילות ומשפט ערך הביניים.
3. גזירה: נגזרת חלקית, נגזרת כיוונית, דיפרנציאביליות, גרדיינט, הדיפרנציאל והדיפרנציאל השלם, כלל השרשרת, היעקוביאן, נגזרות חלקיות מסדר גבוה, המחלקות [math]\displaystyle{ \ D^r }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \ C^r }[/math].
4. נוסחת טיילור. סימון אינדקס מרובב, הבינום המוכלל של ניוטון, דיפרנציאלים מסדר גבוה, פולינום טיילור, נוסחת טיילור, השארית בצורת פאנו והשארית בצורת לגרנז', הערכה של שארית לגרנז', טור טיילור.
5. משפט הפונקציה הסתומה. משפט הפונקציה הסתומה עבור פונקציה ממשית ועבור פונקציה וקטורית. הדיפרנציאל והנגזרות החלקיות של פונקציה סתומה, הקשר בין היעקוביאן להעתקה פתוחה ולקיום העתקה הפוכה מקומית. K-משטחים דיפרנציאביליים כקבוצות רום של העתקות דיפנרציאליות רגולריות. המרחב המשיק והמרחב הניצב למשטחים כאלה.
6. נקודות קיצון של פונקציה ממשית. תנאים הכרחיים לקיצון מקומי בעזרת הדיפרנציאלים הראשון והשני. תנאים מספיקים בעזרת הדיפרנציאל השני. בעיות קיצון עם מספר אילוצים- לפי חילוץ ולפי שיטת כופלי לגרנז'.
7. האינטגרל של רימן ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math]: הגדרה לפי גישת רימן ולפי גישת דרבו, משפט פוביני,זניחות האינטגרל על קבוצה בעלת נפח אפס, משפט חילוץ המשתנים: הוכחה עבור החלפת משתנים לינארית. סקירת ההוכחה השלמה. קואורדינטות קוטביות, גלילויות וכדוריות. אינטגרל לא אמיתי, חישוב של אינטגרל גאוס. חישוב שטחים ונפחים. שימושים כגון חישוב מסה וחישוב מרכז כובד.

88-231 פונקציות מרוכבות

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

1. מספרים מרוכבים.
   1. הגדרות ותכונות יסודיות.
   2. המישור המרוכב וההצגה הקטבית.
   3. אלגברה במרוכבים וחישוב שרשים.
2. חשבון דיפרנציאלי בתחום המרוכב:
   1. גבולות של סדרות, טורים ופונקציות מרוכבות.
   2. הגדרה ותכונות של הנגזרת.,והגדרת אנליטיות.
   3. משואות קושי-רימן.
   4. הגדרה ואנליטיות של פונקציות אלמנטריות בתחום המרוכב.
   5. פונקציות הרמוניות.
3. יסודות האינטגרציה.
   1. האינטגרל הקוי המרוכב.
   2. פונקציות קדומות ואי-תלות במסילה.
   3. משפט קושי ונוסחת קושי.
   4. משפט מוררה ומשפט ליוביל.
   5. המשפט היסודי של אלגברה.
4. טורי חזקות ושיםושיהם.
   1. אנליטיות של טורי חזקות.
   2. אפיון רדיוס ההתכנסות.
   3. טורי טיילור
   4. פיתוח טיילור של פונקציות אלמנטריות.
   5. אפסים של פונקציות אנליטיות.
   6. מיון נקודות סינגולריות מבודדות.
   7. טורי לורן.
5. תורת השארית.
   1. הגדרה וחישוב השארית.
   2. משפט השארית.
   3. חישוב אינטגרלים ממשים בעזרת שאריות.
   4. עיקרון הארגומנט.
   5. משפט רושיי.
6. מבוא להעתקות קונפורמיות.
   1. העתקות אנליטיות והעתקות קונפורמיות.
   2. טרנספורמציות מביוס.
   3. העתקות ע"י פונקציות אלמנטריות.

88-235 אנליזת פורייה ויישומים

שעות. 3 הרצאה. סמסטר ב' (קיץ לתלמידי התיכון).

1. מרחבי מכפלה פנימית . הגדרה של מכפלה פנימית, הנורמה, אי-שיוויון קושי-שוורץ, תהליך גרם-שמידט. מערכות אורתוגונליות ומערכות אורתונורמליות, מקדמי פורייה, משפט פיתגורס, הטלות אורתוגונליות, אי-שיוויון בסל. מערכות אורתוגונליות אינסופיות, הלמה של רימן-לבג, שיוויון פרסבל, סגירות ושלמות. (2 שבועות)
2. טורי פורייה טריגונומטריים . טורי פורייה בייצוג הטריגונומטרי ובייצוג המעריכי, בקטע [π,π-] ובקטע כללי. פונקציות זוגיות ואי זוגיות, טורי קוסינוס וטורי סינוס. התכנסות נקודתית, משפט דיריכלה, התכנסות במידה שווה, שיוויון פרסבל, התכנסות בנורמה. תופעת גיבס. גזירה ואינטגרציה של טורי פורייה. (3 שבועות)
3. מערכות שטורם-לייוביל וטורי פורייה כלליים . אופרטורים דיפרנציאליים מדרגה 2 צמודים לעצמם, מערכות שטורם-לייוביל, אורתוגונליות של פונקציות עצמיות. פיתוחים בטורים של פונקציות עצמיות. דוגמאות הכוללות פונקציות בסל, פולינומי לז'נדר ופולינומי צ'ביצ'ף. (3 שבועות)
4. מבוא להתמרת פורייה . הגבול של טור פורייה על קטע אינסופי. הגדרת התמרת פורייה. קיום ותכונות של ההתמרה. משפט ההתמרה ההופכית (ללא הוכחה). נוסחת פלנשרל (ללא הוכחה). קיפול (קונבולוצייה), משמעותו ויישומו. (2 שבועות)
5. התמרת פורייה הבדידה. התמרת פורייה הבדידה והפיכתו, אוניטריות, משפט פלנשרל, קיפול. היחס בין טורי פורייה, התמרת פורייה, התמרת פורייה הבדידה בזמן והתמרת פורייה הבדידה. Aliasing. יישום בדחיסת אות. (2 שבועות)

88-236 חשבון אינפינטיסימלי 4

שעות. 3 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר ב'.

1. אינטגרלים קווים. מסילה בעלת אורך, מסילה חלקה למקוטעין, פרמטריזציה של מסילות. תבנית לינארית דיפרנציאלית ושדה וקטורי. תבנית דיפרנציאלית סגורה, ותבנית דיפרנציאלית מדוייקת, שדה משמר (שדה פוטנציאל). אינטגרל קווי של תבנית דיפרנציאלית (או של שדה וקטורי). אינטגרל של פונקציה לפי אורך המסילה. למת פואנקרה, משפט גרין במישור.
2. אינטגרלים משטחיים ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math]: הצגה פרמטרית של משטח, משטח נתון להטלה. משטחים חלקים למקוטעין. חישוב שטח משטח. אינטגרל משטחי עבור משטחים חלקים למקוטעין. שימושים כגון חישוב מסה של משטח ומרכז כובד. אופרטורים דיפרנציאליים: האופרטור "דל" ככלי להגדרת הגרדיינט, הדיוורגנץ והרוטור. משפט גאוס ומשפט סטוקס ומובנם הפיזיקלי
3. תבניות דפרנציאליות ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math]: העתקות רב-לינאריות, סימטריות ואנטיסימטריות. תבניות דפרנציאליות, האופרטור "d” כהכללה של האופרטור "דל". משפט סטוקס הכללי.

88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

1. המושג של משוואה דיפרנציאלית רגילה (מדר), מיון ודוגמאות.
2. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון
   1. מדר מסדר ראשון ליניאריות הומוגניות.
   2. מדר ליניארית מסדר ראשון ליניאריות לא הומוגניות ( שיטת וריאציות מקדמים)
   3. מדר מסדר ראשון לא ליניאריות, הפרדת המשתנים, משוואות מדויקות, גורם אינטגרציה.
   4. צורה כללית של מדר , פתרון כללי, פתרון סינגולרי, תנאי התחלה, בעיית קושי.
   5. משוואות קלרו ורקטי.
   6. משפט קיום ויחידות של מדר מסדר ראשון.
3. משוואות דיפרנציאליות מסדר n <1
   1. מדר ליניאריות הומוגניות מסדר n >1 עם מתקדמים קבועים.
   2. אופרטור לינארי מסדר (n) עם מקדמים קבועים .
   3. מערכת פונקציות תלו-לינארית ובלתי תלו לינארית, מושג של ורונסקיאן.
   4. משוואות מסדר גבוה, נסיגה של סדר נגזרת.
   5. משפט ליוביל.
   6. מדר לינאריות לא הומוגניות מסדר 1<n עם מקדמים קבועים - שיטת הבחירה.
   7. גישה כללית לפתירת אופרטור לינארי לא הומוגני – שיטת לגרנז' (וריאצית מקדמים).
4. מערכת משוואות דיפרנציאליות לינאריות
   1. ניסוח תנאי התחלה למערכות לינאריות ומשפט קיום-יחידות למערכת לינארית.
   2. שיטות לפתירת מערכת מד"ר ליניארית עם מתקדמים קבועים.
5. המשוואות הדיפרנציאליות מסדר 2
   1. פתירת מד"ר על-ידי טורי חזקות, נקודות סינגולריות ומיון של נקודות סינגולריות למד"ר.
   2. משוואות לז'נדר, פולינומים לז'נדר, מערכת אורתונורמלית וקשר עם מד"ר.
   3. טור פרובניוס (טור חזקות מוכלל) ומשפט פרובניוס.
6. משוואות בסל ופוקנציות בסל ותכונותיה.
7. בעית שטורם ליאוביל, אופרטור גרין

88-241 משוואות דיפרנציאליות חלקיות

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

1. מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות. חזרה על מד"ר; מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות; תרגילים; משפט קושי-קובלסקיה, קיום ויחידות (ניסוח).
2. משוואה לינארית וקואזילינארית מסדר ראשון
3. מיון של משוואות דיפרנציאליות חלקיות מסדר 2. סוגי עקומות ומשטחים מסדר 2; היפרבולות; פרבולות; אליפטים; תרגילים;
4. משוואת תנודת המיתר (משוואת הגלים). שיטת דלמבר; שיטת פוריה או שיטת הפרדת המשתנים; בעיית תנודת המיתר המוחזק משני צדדיו; משוואת מיתר עם תנודה מאולצת (לא תנודה חופשית); טרנספורמציה מתנאים לא הומוגנים לתנאים הומוגנים; תנודה עצמית ותכונותיה.
5. משוואות החום. תורת השדה; הצגה אינטגרלית של פתרון משוואת החום – שיטת פוריה; אנליזה – חזרה; שינוי משתנים וטרנספורמציה בתוך משוואת החום; פתרונות למשוואת החום כאשר המוט אינסופי, מוחזק מצד אחד ומוחזק משני צדדים; פונקציה יסודית (פונדמנטלית) ותכונותיה; עיקרון המקסימום של משוואת החום; משפט היחידות; דוגמאות; משוואת החום לא הומוגנית; משוואת החום עם תנאים לא הומוגנים.
6. משוואה אליפטית. בעיית דיריכלה במימדים 1,2,3; אנליזה וקטורית – חזרה; פתרונות בעיית דיריכלה למשוואת לפלס על-פי פונקצית גרין; בעיית נוימן; בעיית נוימן על-פי שיטת פונקצית גרין; בעיית דיריכלה למשוואת לפלס ב- בעיגול על-פי שיטת פוריה; פתרון בעיית דיריכלה למעגל לפי שיטת נקודה סימטרית; בעיית דיריכלה למלבן בשביל משוואת לפלס; משוואת פואסון.

88-260 רגרסיה וניתוח שונות

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

1. רגרסיה פשוטה: שיטת הריבועים הפחותים, חישוב אומדים, ניתוח שונות, הערכת רגרסיה על ידי התפלגותF , רווחי סמך עבור המקדמים, הסטטיסטי . בדיקת ההשערה . אי-התאמה ושגיאה מקרית.
2. התפלגות רב-נורמלית. הוכחת אי-תלות בין הממוצע לשונות המדגם.
3. רגרסיה רב- משתנית: שימוש במטריצות לחישוב אומדים. משפט גאוס-מרקוב. ניתוח שונות, הערכת רגרסיה על ידי התפלגותF , רווחי סמך עבור מקדמים, הסטטיסטי . רווח-סמך עבור תצפית חדשה.
4. רגרסיה משוקללת: חישוב אומדים. חישוב סטיית המודל.
5. בדיקת שאריות: בדיקת נורמאליות, מבחן סימנים, מבחן.Durbin-Watsoin
6. מודלים מורכבים: משתני דמי, החלפת משתנים.
7. קביעת הרגרסיה הטובה ביותר: שיטת Backward ו-Forward. שיטת Stepwise. שיטת Press.
8. רגרסיה לא –ליניארית: שיטת הריבועים הפחותים, לינאריזציה, שיטת המורד התלול ביותר.
9. ניתוח שונות: חד –כיווני, דו-כיווני בלי אינטראקציה, דו-כיווני עם אינטרקציה, שימוש בריבועים לטיניים.
10. המודל הלוגיסטי: הצגת המודל, אמידת הפרמטרים, מובהקות הפרמטרים.

88-266 תורת התורים

שעות. 2 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר א'.

1. בעית התורים.
2. התפלגות ארלנג.
3. מאפייני התור.
4. תהליך פואסון ואפיונים. קשר בין תהליך פואסון להתפלגות מעריכית.
5. מודלים מעריכיים עבור תורים בעלי שרת אחד (M/M/1). המשוואות הדיפרנציאליות של המערכת, יציבות, חישוב מידות יעול, התפלגות זמני המתנה, נוסחת LITTLE
6. תורים עם תכולה מוגבלת (M/M/1/K), הסתברויות חולפות.
7. מודלים מרקוביים, תהליכים לידה ומיתה, תורים מקבילים (M/M/C), תורים מקבילים עם תכולה מוגבלת (M/M/C/K), נוסחת ERLANG עבור (M/G/C/C).
8. תורים עם "שרת רחב"(M/M/∞).
9. תורים עם מספר צרכנים מוגבל, תורים בהם זמן שרות תלוי בתור.
10. תורים עם אי-סבלנות.
11. הופעות או שרות בקבוצות (M^[x]/M/1), מודלים של ארלנג (M/E_k/1).

88-268 הדמיה וחבילות סטטיסטיות

שעות. 3 הרצאה. סמסטר ב'.

1) יצירת מספרים אקראיים (התפלגות אחידה): הצורך במספרים אקראיים, אמצעים פיזיים ליצירת מספרים אקראיים, מספרים פסידו-אקראיים, שימוש בקונגרואנציות 2) יצירת מספרים אקראיים (התפלגויות שונות): התפלגות נורמלית: משפט הגבול המרכזי, התפלגות נורמלית: שיטת בוקס-מילר, התפלגות נורמלית: שיטת פולר-מרסגליה, התפלגות מעריכית, התפלגות גמה, התפלגות, התפלגות בינומית, התפלגות פואסון 3) שיטות כלליות למשתנים שאינם מתפלגים על פי התפלגות אחידה: משתנים בדידים, משתנים רציפים: שיטת ההפיכה, משתנים רציפים: שיטת הדחיה 4) בחינת אקראיות: בדיקת שכיחות יחסית, מבחן סדרתי, מבחן המרחק, מבחן המקבצים 5) שיטות אינטגרציה: שיטת "Hit or Miss", שיטת "Sample Mean", שימוש במשתנים אנטי-תטיים, שימוש בפונקציה קרובה 6) יישומי סימולציה: תורת התורים, המחט של Buffon, חישוב של , חישוב של e: בניסוי פיזי ובאמצעות משתנים המתפלגים באופן אחיד 7) Bootstrap: רגרסיה לינארית, רגרסיה לוגיסטית, 8) תכנות ב-S.A.S: מבנה כללי של תוכנית, Data, Array, Retain, Output, פונקציות אריתמטיות, פונקציות מחרוזת, תכנות ב-SAS, Set, Merge, Sort, Plot, מבוא ל-IML

88-275 תאוריה סטטיסטית 1

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

1. הסתברות (חזרה מהירה על נושאים מ-88-165):
   1. פונקצית צפיפות של משתנה מקרי חד-מימדי ודו-מימדי.
   2. ההתפלגויות: אחידה, נורמאלית, גמא, ,ביתא, לוגנורמאלית, וויבול.
   3. טרנספורמציה של משתנים מקרים חד-ממדיים ודו-ממדיים.
   4. התפלגויות - הגדרה ותכונות.
2. מבוא להסקה סטטיסטית:
   1. מבוא להסקה סטטיסטית, אוכלוסייה, מדגם מקרי, דגימה בלי ועם החזרה.
   2. סטטיסטי, התפלגות דגימה של סטטיסטי. דוגמאות.
   3. התפלגות היחס בין שונויות מדגמים (F) והיחס בין ממוצע לסטיית התקן (t).
3. אמידה נקודתית:
   1. מבוא לאמידה, פונקצית ההפסד, פונקצית הסיכון, טעות MSE .
   2. אומד בלתי מוטה , אומד יעיל, אומד עקבי, UMVUE.
   3. אומד נראות מכסימאלית ותכונותיו, אומד לפי שיטת המומנטים.
   4. סטטיסטי סדר והתפלגותו.
   5. סטטיסטי מספיק, סטטיסטי מספיק מינימאלי, משפט הפרוק.
   6. משפט ראו- בלקוול.
   7. סטטיסטי שלם. סטטיסטי מספיק ושלם עבור משפחה מעריכית .
   8. משפט להמן- שפה.
   9. אי – שוויון ראו-קרמר.
4. אמידת רווח סמך: עקרונות, שיטת הכמות הצירית.

88-277 תאוריה סטטיסטית 2

שעות. 2 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר ב'.

1. בדיקת השערות: הגדרות. השערה בסיסית והשערה אלטרנטיבית, השערה פשוטה ומורכבת, אזור קריטי (אזור הדחייה), גודל ועוצמה של מבחן, טעויות מסוג ראשון ושני.
2. פונקצית עוצמה, רווח סמך, מבחנים MPו- UMP.
3. מבחן יחס הנראות, למה של ניימן ופירסון, התנהגות אסימפטוטית של נראות יחסית (משפט וילקס).
4. מבחנים פרמטריים: השוות תוחלות או שונויות של שתי ההתפלגויות נורמאליות וההתפלגויות בינומיות (מבחן מקנמר).
5. טבלאות תלות: אי-תלות של טבלאות 2x2, מבחן התאמהχ² לטבלה Nx2, אי-תלות של טבלאות NxM.
6. מבחנים ללא-פרמטריים: מבחני סימן ודרגה של וילקונקסון

88-280 אלגוריתמים ומבני נתונים

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

1. סיבוכיות (כולל חומר תאורטי על מכונות דטרמיניסטיות ולא דטרמינסטיות) 2. רקורסיה 3. מבני נתונים: מחסניות, תורים, תורי קדימויות, ערימות, עצים, עצי חיפוש, עצים מאוזנים, טבלאות ערבול (פתוחות וסגורות). 4. מיונים (יציבים ולא יציבים)- מיוני השוואה ומיוני לא השוואה 5. מציאת רכיבי קשירות ורכיבי קשירות מלאה 6. עצים פורשים 7. מרחקים מינימלים 8. מיון טופולוגי 9. השוואת מחרוזות (התאמה מושלמת) 10. מושגים בסיסיים באינפורמציה 11. דחיסה 12. זרימה ברשת 13. תכנון לינארי – אלגוריתם הסימפלקס

88-300 סדנא לפתרון בעיות

שעות. 2 הרצאה. סמסטר א'.

שיטות שונות לפתרון בעיות מתמטיות ברמה תחרותית. למשל: אינדוקציה קומבינטורית, אינווריאנטים, סמי-אינווריאנטים, אי-שוויונים, רדוקציה, שיטות גאומטריות, שיטות מתורת הגרפים. הקורס ילווה בדוגמאות רבות מתחרויות וספרים בתחום.

88-303 לוגיקה מתמטית

שעות. 3 הרצאה. סמסטר א'.

1. מבוא להוכחות פורמאליות. 2. לוגיקה פסוקית. a. תחביר וסמנטיקה. b. קבוצות של קשרים שלמים. c. מערכת היסק ללוגיקה פסוקית. d. משפט השלמות ללוגיקה פסוקית. e. משפט הקומפקטיות ללוגיקה פסוקית. 3. לוגיקה מסדר ראשון. a. תחביר ללוגיקה מסדר ראשון. b. סמנטיקה ללוגיקה מסדר ראשון. c. משפט השלמות ללוגיקה מסדר ראשון. d. מערכת היסק ללוגיקה מסדר ראשון. e. משפט הקומפקטיות ללוגיקה מסדר ראשון. 4. מבוא לתורת המודלים.

88-311 תורת גלואה

שעות. 2 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר א'.

1. הרחבות סופיות של שדות, כפליות המימד. הומומורפיזם ואוטומורפיזם של אלגברות. פעולת אוטומורפיזם על שורשי פולינום.
2. שדות פיצול – קיום ויחידות עד-כדי איזומורפיזם. הרחבת הומומורפיזם לשדה הרחבה, וספירת השיכונים של שדה לשדה פיצול.
3. פולינום ספרבילי והרחבות ספרביליות. קריטריון לספרביליות לפי הנגזרת. שדות מושלמים. כל השדות ממאפיין 0 הם מושלמים.
4. הרחבות גלואה: חבורת גלואה, הרחבות נורמליות. המשפט היסודה הראשון (המאפיין מתי הרחבה סופית היא הרחבת גלואה). הלמה של ארטין. הסגור הנורמלי של הרחבה.
5. התאמת גלואה בין שדות בינייים ותת-חבורות של חבורת גלואה, לרבות ההתאמה בין הרחבות נורמליות לבין תת-חבורות נורמליות.
6. שדות סופיים: קיום ויחידות של שדה סופי מכל סדר שהוא חזקת ראשוני. פיצול הפולינומים x^q-x; אוטומורפיזם פרובניוס. כל הרחבה של שדות סופיים היא ציקלית.
7. חבורות פתירות וההתאמה להרחבות של שדות.
8. קיום סגור אלגברי (ההוכחה של ארטין בעזרת קיום אידיאל מקסימלי). המשפט היסודי של האלגברה – שדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית. תרגום ההוכחה לשפה של הרחבות שדות.
9. שורשי יחידה והרחבות ציקלוטומיות: חבורת גלואה איזומורפית לחבורת אוילר.
10. פתירות על-ידי רדיקלים: הרחבות שורשיות, מגדל של הרחבות, הדוגמה של גלואה לפולינום שאינו פתיר על-ידי רדיקלים. מספרים בני-בניה ופתרון הבעיות של ימי קדם.
11. משפט גלואה – פולינום פתיר על-ידי רדיקלים אם ורק אם חבורת גלואה פתירה. רזולבנטות של לגרנז'.
12. עקבה, נורמה ודיסקרימיננטה, ושימושים לפתרון משוואות.
13. נושאים נוספים מבין: חבורות פרו-סופיות וחבורת גלואה האבסולוטית. סגור אלגברי והרחבות טרנסצנדנטיות. מימוש כל חבורה סופית כחבורת גלואה. בעיית ההיפוך של תורת גלואה. בעיית נתר. מבוא לפולינומים סימטריים (נוסחאות ניוטון).

דרישות קדם. אלגברה מופשטת 2.

88-315 התמרות אינטגרליות

שעות. 3 הרצאה. סמסטר א'.

1 הקדמה. טורי פונקציות ותכונותיהם;אינטגרלים תלויים בפרמטר; גבול של אינטגרל התלוי בפרמטר ;שינוי סדר אינטגרציה באינטגרלים כפולים. 2 התמרת פוריה במרחב . משפט עזר של רימן-לבג;התמרת פוריה במרחב ותכונות ראשונות שלה;שיטות ישירות לחישוב התמרת פוריה;ערך ראשי של אנטגרל לא אמיתי; חישוב התמרת פוריה בעזרת שיטת השאריות. 3 אינטגרל פוריה. אינטגרל פוריה למחלקות Holder; אינטגרל פוריה לפונקציות חלקות למקוטעין; אינטגרל פוריה בצורה ממשית; הנוסחה האינטגרלית של פוריה וערך ראשי של אינטגרל; ניתוח המשפטים היסודיים. 4 היפוך של התמרת פוריה במרחב . נוסחה אינטגרלית של פוריה, התמרת פוריה וההיפוך שלה; משפטים נוספים להיפוך של התמרת פוריה; היפוך של התמרת פוריה בעזרת שיטת השאריות; תכונות יסודיות של התמרת פוריה ויישומים שלהן; משפט השיכון (lmbedding) של סובלב, חלקות הפונקציה ותכונות של התמרת פוריה שלה; תכונות. 5 התמרות סינוס וקוסינוס. הנוסחה האינטגרלית של פוריה לפונקציות זוגיות ואי-זוגיות; פיתוח פונקציות המוגדרות בחצי-ציר לאינטגרל פוריה. התמרות סינוס וקוסינוס - תכונות שלהן והיפוך; מציאת התמרות סינוס וקוסינוס בעזרת שיטת השאריות; ישומי התמרות סינוס וקוסינוס, התמרות פוריה לפתרון של בעית קושי למשוואות דיפרנציאליות רגילות. 6 התמרת פוריה במרחב . תכונות יסודיות של מרחב . משפט Plancherel. שוויון של Parseval; משפט Plancherel לגבי היפוך של התמרת פוריה; משפט Plancherel במרחב  ; חישוב אינטגרלים והשוויון של Parseval; פתרון המשוואה האינטגרלית של Fredholm מסוג ראשון. 7 כריכה ויישומיה. כריכה ותכונות יסודיות שלה; משפט Borel; משוואות אינטגרליות של Fredholm מסוג שני מסוג כריכה, פתרונן בעזרת שיטות פוריה. 8 התמרת לפלס. מקורות ותמונות; מרחב המקורות; מעריך גידול וחשיבותו;תמונה ותכונות יסודיות שלה; תכונות יסודיות של התמרת לפלס. 9 התמרת לפלס. תכונות יסודיות של התמרת לפלס (המשך). 10 כריכה ותכונותיה. תכונות יסודיות של כריכה במרחב מקורות; משפט Borel; נוסחאות של Duhamel; פונקצית הגמה של Euler. תכונות ויישומים. 11 היפוך של התמרת לפלס. המשפט של Mellin. משפט היחידות; דרישות מספיקות שמגדירות את התמונה; היפוך של התמרת לפלס בעזרת שיטת השאריות; משפט הפיתוח – דוגמאות; היפוך תמונות רציונאליות; היפוך התמרת לפלס בעזרת התכונות הכלליות שלה; פתרון משוואות אינטגרליות ומערכת משוואות אינטגרליות מסוג כריכה בעזרת התמרת לפלס. 12 התמרת לפלס ומשוואות דיפנרציאליות רגילות. פתרון של בעית קושי למשוואה דיפנרציאלית לינארית רגילה עם מקדמים קבועים, בעזרת יישום ישיר של התמרת לפלס ובעזרת המשפטים של Borel ו-Duhamel; שיטות טכניות שמפשטות דרך לפתרון; פתרון בעית קושי למערכת משוואות דיפנרציאליות לינאריות רגילות עם מקדמים קבועים – בעזרת ישום ישיר של ההתמרת לפלס ובעזרת המשפטים של Borel ו- Duhamel.

88-320 פיזיקה למתמטיקאים

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

1. קינמטיקה
   1. העתק, מהירות ותאוצה
   2. תנועה במעגל
2. מכניקה ניוטונית
   1. חוקי התנועה של ניוטון
   2. אוסילטור הרמוני
   3. גרביטציה
   4. עבודה ואנרגיה
   5. חוקי שימור: תנע, אנרגיה ותנע זוויתי
   6. כוחות משמרים ואנרגיה פוטנציאלית
   7. תנודות קטנות ואופני תנודה
   8. משפט ליוביל
3. מכניקה אנליטית
   1. הקדמה לתחשיב הוריאציות: מינימיזציה של פונקציונלים ומשוואת אוילר-לגרנז'
   2. לגרנז'יאנים פיסיקליים
   3. מעבר לקואורדינטות מוכללות
   4. חבורות לי: הגדרה, האלגברה של החבורה, המפה האקספוננציאלית
   5. משפט נתר
   6. טרנספורם לז'נדר
   7. מכניקה המילטונית
   8. סוגרי פואסון
4. מערכות ייחוס
   1. חבורת גליליי
   2. מערכות לא אינרציאליות – מואצות ומסתובבות
   3. חבורת לורנץ (במימד אחד)
5. מרחבי הילברט:
   1. וקטורים ואופרטורים
   2. המשפט הספקטרלי
   3. הסוגריים של דיראק
6. מבוא לתורת הקוונטים
   1. מיקום ותנע בתורת הקוונטים
   2. משוואת שרדינגר
   3. חלקיק בבור פוטנציאל
   4. אוסילטור הרמוני קוונטי
   5. סימטריות בתורת הקוונטים
   6. חבורת הסיבוב והתנע הזוויתי
   7. כח מרכזי – אטום המימן הקוונטי
   8. מדידה ואופרטורי הטלה
   9. אי שוויון בל

88-341 אנליזה מודרנית 1

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

1 מבוא לתורת לבג:

    א. מידת לבג על הממשים.
    ב. קבוצות מדידות לבג וקבוצות בורל.
    ג.  קבוצות לא מדידות.
    ד.  מרחבים מדידים ומידות כלליות.
    ה.  פונקציות מדידות
    ו.   אינטגרל לבג.
    ז.  משפטי התכנסות

2 גזירה ואינטגרציה.

    א.  משפט הגזירה של לבג.
    ב.  פונקציות בעלות השתנות חסומה.
    ג.   רציפות בהחלט.
    ד.  הכללת המשפט היסודי.
    ה.  השוואה עם אינטגרל רימן.

3 אינטגרל כפול.

    א.  בנית מידת המכפלה.
    ב.  משפטי פוביני וטונלי

4 מבוא לאנליזה פונקציונלית.

    א.  מרחבים נורמים ומרחבי בנך.
    ב.   מרחבי  . 
    ג.   אי- שוויוני הולדר ומינקונסקי.  
    ד.   מרחבי מכפלה פנימית ומרחבי הלברט.
    ה.   טרנספורמציות ליניאריות ורציפות.
    ו.    משפט ההצגה של ריס במרחבי הלברט. 
    ז.    משפט לבג רדון ניקודים. 

88-360 יישומי סטטיסטיקה 1

שעות. 2 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

88-361 יישומי סטטיסטיקה 2

שעות. 2 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

88-369 חקר ביצועים

שעות. 2 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר ב'.

88-373 הסתברות וסטטיסטיקה מתמטית

שעות. 3 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר ב'.

88-500 הידרודינמיקה תאורטית

שעות. 3 הרצאה. סמסטר א'.

88-525 גאומטריה אלגברית 1

1. קבוצות אפיניות מעל [math]\displaystyle{ \ \mathbb{C} }[/math]
2. אידיאל של קבוצה אפינית
3. טופולוגית זריצקי
4. מרחב פרוייקטיבי
5. קבוצה פרוייטיבית, כיסוי אפיני, פריקות.
6. חוג הפונקציות הרגולריות, שדה הפונקציות הרציונאליות.
7. מורפיזם, איזומורפיזם, העתקה רציונלית, העתקה בירציונלית
8. תכונות ודוגמאות
9. מיון של עקומות

דרישות קדם. אלגברה מופשטת 2, טופולוגיה, פונקציות מרוכבות

88-813 אלגברה קומוטטיבית

שעות. 3 הרצאה. סמסטר א'.

1. מודולים: הגדרה, משפטים בסיסיים. [בהתאמה לנלמד ב- תורת החוגים). סדרות הרכב, אורך של מודול.
2. מודולים וחוגים ארטיניים ונותריים. משפט הבסיס של הילברט.
3. מיקום של חוגים: הגדרה, תכונות בסיסיות, מיקום באידאל ראשוני, הלמה של נקיימה.
4. אלגברות אפיניות מעל שדות: תלות אלגברית, מעלת הטרנסצנדנטיות, מימד קרול, שוויונו למעלת הטרנסצנדנטיות עבור תחומים אפיניים.
5. הרחבות שלמות של חוגים ותכונות של הרחבות חוגים: מונח-על, לא-בר-השוואה, going up, going down.
6. תורת מימד קרול עבור חוגים נתריים: משפט קרול על אידאלים ראשיים והכללותיו, נוסחת המימד, אידאלים רדיקליים, חוגים מצומצמים, קטנריות של אלגברות אפיניות.
7. ישומים בגיאומטריה אלגברית: קבוצות ויריעות אלגבריות אפיניות, התאמה בין יריעות אפיניות ותחומים אפיניים, הנולשטלנזץ של הילברט, מימד של רכיבים של החיתוך של שתי יריעות, אלגברות מדורגות ויריעות פרויקטיביות.
8. ערכים מוחלטים והערכות מוחלטות.

דרישות קדם. אלגברה מופשטת 2. רצוי במקביל תורת גלואה.

88-815 אלגברה לא קומוטטיבית

שעות. 3 הרצאה. סמסטר ב'.

1. מושגים יסודיים בתורת החוגים: חוגי מטריצות, מושגי יסוד בחוגים לא קוממוטטיבים, מכפלות ישרות, המבנה של Hom(M,N), הצגות של חוגים ואלגברות, ההצגה הרגולרית של אלגברה.
2. חוגים ומודולים פשוטים למחצה, משפט Wedderburn-Artin.
3. חוגים ואידיאלים פרימיטיביים, הרדיקל של ג'ייקובסון, המבנה של חוגים ארטיניים.
4. תורת ההצגות של חובורות, מודולים מעל חוג החבורה F[G].
5. קרקטרים של חבורות סופיות, היחסים האורתוגונליים של שור, טבלת הקרקטרים, הצגות מושרות, משפט ההיפוך של פרובניוס.

דרישות קדם. אלגברה קומוטטיבית. רצוי מאד תורת גלואה.

88-825 גאומטריה אלגברית 2

1. מימד, מימד של חיתוך, מימד של סיב.
2. תמונה של קבוצה סגורה, משפטים על שיכון.
3. דיביזור, אינדקס של חיתוך, דרגה של יריעה.
4. דרגה של העתקה, משפט Bezout
5. מערכת לינארית, דיביזור קאנוני, העתקה פלוריקאנונית.
6. מיון של משטחים

דרישות קדם. גאומטריה אלגברית 1. רצוי גם אלגברה קומוטטיבית.

88-833 אנליזה מודרנית 2

1. אופרטורים לינאריים: הגדרות ותכונות כלליות.
2. עקרונות אנליזה פונקציונלית.
3. אופרטורים צמודים.
4. אופרטור צמוד לעצמו.
5. מרחבים אינווריאנטיים.
6. ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים של אופרטור צמוד לעצמו.
7. הספקטרום של אופרטור צמוד לעצמו.
8. אופרטורים צמודים לעצמם אינטגרליים.
9. אופרטורים סימטריים לא חסומים.
10. אופרטורים סימטריים דיפרנציאליים.
11. אופרטורים קומפקטיים: הגדרות ותכונות כלליות.
12. אופרטורים קומפקטיים במרחב הילברט.
13. הספקטרום של אופרטור קומפקטי צמוד לעצמו.
14. פיתוח ערכי האופרטור לטור האיברים העצמיים.
15. משוואות אינטגרליות עם גרעין סימטרי.

88-835 אנליזה הרמונית

טרם הוגש לתו"מ

1. טורי פורייה על המעגל. תורת [math]\displaystyle{ \,L^2 }[/math].
2. משפטי התכנסות ותופעת התבדרות של טור פורייה.
3. סכימה של טור פורייה על-ידי ממוצעי Fejér.
4. אופרטור הזזה. מרחבים אינוואריאנטיים להזזות.
5. מקדמי פורייה של מידה. משפט הרגלוץ על סדרת מספרים חיובית לחלוטין.
6. מידה ספקטרלית. המשפט הארגודי של פון נוימן.
7. התפלגות אסימפטוטית של סדרת נקודות. סיבוב אי-רציונאלי על המעגל.
8. טרנספורם פורייה על הישר הממשי. משפט פלנשרל.
9. נוסחת הסכום של פואסון.
10. עקרון אי-הוודאות.
11. טרנפורם פורייה במישור המרוכב. משפט Paley-Wiener.
12. דגימה של אותות מוגבלי תדר ובעלי מספר תחומי תדרים. צפיפות של ברלינג-לנדאו.

88-843 אנליזה מודרנית 3

1. אופרטורים קומפקטים.
   1. הגדרה ושרשים קלאסיים.
   2. תכונות יסודיות וספקטרליות.
   3. אופרטורים קומפקטים צמודים לעצמם והמשפט הספקטרלי.
   4. ישומים למד"ח.
2. אופרטורים ליניארים במרחבי בנך.
   1. תכונות יסודיות וספקטרליות.
   2. המרחב [math]\displaystyle{ \ L(X) }[/math] של אופרטורים ליניארים וחסומים מ-X לתוך עצמו.
3. אלגברות בנך.
   1. הגדרה ותכונות יסודיות.
   2. הספקטרום והרדיוס הספקטרלי של אלמנט באלגברה.
   3. הומומורפיסמים מרוכבים ואידיאלים מקסימלים.
   4. משפט בנך אלאגלו.
   5. מרחב האידיאלים המקסימלים.
   6. משפט האינברסיה של וינר.
4. אלגברות [math]\displaystyle{ \ C^* }[/math] והמשפט הספקטרלי.
   1. הגדרה ודוגמאות של אלגברות [math]\displaystyle{ \ C^* }[/math] ובפרט [math]\displaystyle{ \ L(H) }[/math] כאשר H מרחב הלברט.
   2. משפט סטון-וירשטראס.
   3. משפט גלפנד- ניימרק.
   4. אופרטורים נורמלים והאלגברות שהן יוצרות.
   5. מגלפנד-ניימרק למשפט הספקטרלי לאופורטורים נורמלים.

88-854 אלגברות וחבורות לי

1. מבוא.
   1. חבורות טופולוגיות.
   2. יריעות, שדות וקטוריים (חזרה קצרה).
   3. חבורות לי.
   4. העתקות כיסוי וחבורות יסודיות.
   5. פעולת חבורה ומרחבים הומוגניים.
   6. אלגברות לי.
2. חבורות לי לינאריות:
   1. הגדרה ודוגמאות. מחלקות מיוחדות.
   2. ההעתקה האקספוננציאלית.
   3. ההתאמה בין תת-חבורות ותת-אלגברות.
   4. חבורות לי קשירות ופשוטות קשר. החבורה היסודית.
   5. פירוק Iwasawa ל- [math]\displaystyle{ \ \operatorname{GL}(k) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \ k = \mathbb{R}, \mathbb{C} }[/math].
3. אלגברות לי לינאריות.
   1. אידיאלים, תת-חבורות נורמליות והומומורפיזמים.
   2. הומומורפיזמים והצגות.
4. אלגברות לי פתירות ונילפוטנטיות.
   1. נילפוטנטיות.
   2. פתירות.
   3. משפט אנגל.
5. אלגברות וחבורות לי פשוטות למחצה:
   1. פירוק ז'ורדן
   2. תבנית קילינג, קריטריון קרטן ואלגברות לי פשוטות למחצה
   3. הצגות של [math]\displaystyle{ \ sl(2,\mathbb{C}) }[/math].
6. שורשים ומשקלים:
   1. טורי מקסימליים ושורשים.
   2. תכונות של מערכות שורשים: שלמות, רציונליות.
   3. מערכות שורשים פשוטות וחבורות וייל.
   4. מיון של מערכות שורשים.
   5. המיון של אלגברות לי פשוטות

דרישות קדם: תורת החבורות. רצוי אלגברה לא קומוטטיבית.

88-962 הסתברות ותהליכים סטוכסטיים

1. חזרה על עיקרי תורת ההסתברות
   1. משתנים מקריים
   2. התפלגויות הסתברותיות
   3. מומנטים
   4. פונקציות יוצרות
   5. חוק המספרים הגדולים
   6. משפט הגבול המרכזי
2. תהליכים סטוכסטיים
   1. הגדרה ודוגמאות
   2. תהליך מרקוב
   3. תהליך נייח (סטציונרי)
   4. תהליך בעל תוספות בלתי-תלויות
3. שרשרות מרקוב בזמן רציף
   1. תהליך פואסון
   2. תהליך לידה ומוות
4. תהליכי התחדשות
5. תנועה בראונית
6. תהליכי הסתעפות
7. מרתינגלים