הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לגראנז' (אינפי)"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 12: | שורה 12: | ||
<math>g</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math> כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- <math>(a,b)</math> כהפרש פונקציות גזירות בקטע. | <math>g</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math> כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- <math>(a,b)</math> כהפרש פונקציות גזירות בקטע. | ||
− | קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0 | + | קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math> . |
אבל: | אבל: |
גרסה אחרונה מ־15:19, 27 בספטמבר 2016
משפט לגראנז'
תהי פונקציה רציפה בקטע
וגזירה בקטע
.
אזי קיימת נקודה עבורה מתקיים
.
הוכחה
נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות :
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
רציפה ב-
כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב-
כהפרש פונקציות גזירות בקטע.
קל לראות כי . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה
עבורה מתקיים
.
אבל:
כלומר
כפי שרצינו.