הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11"
(←מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}) |
|||
שורה 7: | שורה 7: | ||
לסיכום, עד כה הראינו כי <math>I(f)=I(P)+I(R)</math> ו-<math>T(f)=T(P)+T(R)</math>. לכן השארית <math>I(f)-T(f)</math> היא <math>I(P)-T(P)+I(R)-T(R)</math>, ומכיוון ש-P לינארית <math>I(P)-T(P)=0</math>, כלומר השארית היא <math>I(R)-T(R)</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}</math>}} | לסיכום, עד כה הראינו כי <math>I(f)=I(P)+I(R)</math> ו-<math>T(f)=T(P)+T(R)</math>. לכן השארית <math>I(f)-T(f)</math> היא <math>I(P)-T(P)+I(R)-T(R)</math>, ומכיוון ש-P לינארית <math>I(P)-T(P)=0</math>, כלומר השארית היא <math>I(R)-T(R)</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}</math>}} | ||
− | וכן {{left|<math>\begin{align}T(R)&=\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k | + | וכן {{left|<math>\begin{align}T(R)&=\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k}-x_{k-1})^2+\frac{f''(c)}2 h^2}2h\\&=\frac{f''(c)(x_k-x_{k-1})^2}4h^3\\&\le\frac{Mh^3}4\end{align}</math>}} |
בסה"כ הטעות בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6</math>. יש n קטעים כאלה, לכן <math>|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)</math>. | בסה"כ הטעות בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6</math>. יש n קטעים כאלה, לכן <math>|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)</math>. | ||
</li><li>כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_{k+1}} f</math> ע"י <math>\frac | </li><li>כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_{k+1}} f</math> ע"י <math>\frac |
גרסה מ־06:19, 5 במאי 2011
תוכן עניינים
מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)
- שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של
:
, כאשר
. חלוקת הקטע
משרה חלוקת הגרף
. נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל
יש רוחב h ושני גבהים
. לכן שטח אותו טרפז הוא
, והקירוב לאינטגרל הוא
נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g
וכן
הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים
ונעריך את הטעות בו, השווה ל-
. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.
כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב-
לסיכום, עד כה הראינו כיונסמן
. נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה
:
, כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.
ו-
. לכן השארית
היא
, ומכיוון ש-P לינארית
, כלומר השארית היא
. נחשב:
וכןבסה"כ הטעות בקטע
חסומה ע"י
. יש n קטעים כאלה, לכן
.
- כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את
בעזרת חלוקה שווה
, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא
. למעשה, סימפסון מקרב
ע"י
לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי
אזי
.
הוכחה
נסמןולכן
. ב-
נציב
ונקבל
.
- נניח ש-f רציפה בסביבה של
וגזירה בסביבה מנוקבת של
. עוד נניח שקיים
. אזי
קיים ושווה ל-L.
הוכחה
לפי ההגדרה, אם f גזירה ב-
אזי
, ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל-
עבור
כלשהו בין
ל-
. לכן, כאשר
גם
ונקבל
.
נחזור לכלל סימפסון.
שלב א
נניח ש-
ו-
פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש-
(כאשר לכל f אינטגרבילית ב-
הגדרנו
).
הוכחה
לכל פולינום ממעלה 3 (או פחות)מתקיים
שלב ב
נניח ש-f בעלת 4 נגזרות רציפות בקטעונסמן
. נעריך את הטעות:
. לצורך זה נשתמש בפיתוח טיילור של f סביב 0 מסדר 3,
. לכן
. כזכור
. נעריך:
מכל זה, יוצא ש:
.
שלב ג
נוכיח כי לכל k שעבורו
מתקיים
הוכחה
באינטגרלנציב
כדי לקבל
. ניצור פונקציה
ונבנה
ב-
כמו שעשינו בשלב ב:
כמו כן, מכיוון ש-
מתקיים
, ומכל זה נובע
.
סיכום
מצאנו שעל כל תת קטע
הטעות בקירוב סימפסון חסומה ע"י
. יש
קטעים כאלה, ומכיוון ש-
הטעות חסומה ע"י
.
הערה: ניתן להוכיח כי הטעות חסומה גם ע"י
.
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי