הבדלים בין גרסאות בדף "חוג הפולינומים מעל שדה"
(←הגדרה) |
|||
שורה 14: | שורה 14: | ||
* <math>\sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=1}^nb_ix^n=\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)x^n</math> (אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.) | * <math>\sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=1}^nb_ix^n=\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)x^n</math> (אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.) | ||
* <math>\sum_{i=0}^na_ix^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jx^j=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m,m+n=k}a_ib_j\right)x^k</math> | * <math>\sum_{i=0}^na_ix^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jx^j=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m,m+n=k}a_ib_j\right)x^k</math> | ||
+ | הפעולות האלה הופכות את <math>F[x]</math> לחוג. | ||
+ | |||
+ | '''הערה:''' כל ההגדרות לעיל עובדות לכל חוג ולא רק לשדות. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == תכונות == | ||
+ | |||
+ | אם <math>F</math> שדה, החוג <math>F[x]</math> הוא [[תחום אוקלידי]]. פונקציית הדרגה תהייה דרגת הפולינום. כתוצאה מכך: | ||
+ | * לכל שני פולינומים קיים מחלק משותף מקסימלי וניתן למצוא אותן ע"י [[האלגוריתם של אוקלידס]]. | ||
+ | * <math>F[x]</math> תחום ראשי (כל אידיאל נוצר ע"י איבר אחד). | ||
+ | * <math>F[x]</math> הוא תחופ פריקות יחידה (לכל פולינום יש פירוק יחיד לגורמים) | ||
+ | * פולינום שונה מ-0 הוא [[אי-פריק]] אם ורק אם הוא [[ראשוני]]. | ||
+ | * כל אידיאל ראשוני שונה מ-0 של <math>F[x]</math> הוא מקסימלי וראשי. כלומר, אם <math>p(x)\neq 0</math> הוא ראשוני (או אי פריק) אז <math>F[x]/\left<p(x)\right></math> הוא שדה. |
גרסה מ־19:50, 2 בנובמבר 2011
הגדרה
יהי שדה. ביטוי פורמלי מהצורה
כאשר
ו-
נקרא פולינום במשתנה
מעל
. האיברים
נקראים מקדמי הפולינום.
נניח כי אנו נאמר כי שני פולינומים
הם שקולים אם
עבור
ו-
עבור
. מעכשיו, כאשר נדבר על פולינום נתכוון בעם למחלקת השקילות של כל הפולינומים השקולים לו. עדיף לא לחשוב על זה.
כל פולינום שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שקול לפולינום יחיד
עם
. המספר
נקרא דרגת הפולינום ומסומן ב-
. מעלת פולינום ה-0 מוגדרת לעיתים להיות
.
הערה: כל פולינום משרה פונקציה מ-
לעצמו ששולחת את
ל-
. אם השדה
סופי, ייתכן כי שני פולינומים שונים ישרו אותה פונקציה.
אוסף הפולינומים מעל במשתנה
יסומן ב-
.
מגידירים על
חיבור וכפל על ידי הנוסחאות:
-
(אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.)
-
הפעולות האלה הופכות את לחוג.
הערה: כל ההגדרות לעיל עובדות לכל חוג ולא רק לשדות.
תכונות
אם שדה, החוג
הוא תחום אוקלידי. פונקציית הדרגה תהייה דרגת הפולינום. כתוצאה מכך:
- לכל שני פולינומים קיים מחלק משותף מקסימלי וניתן למצוא אותן ע"י האלגוריתם של אוקלידס.
-
תחום ראשי (כל אידיאל נוצר ע"י איבר אחד).
-
הוא תחופ פריקות יחידה (לכל פולינום יש פירוק יחיד לגורמים)
- פולינום שונה מ-0 הוא אי-פריק אם ורק אם הוא ראשוני.
- כל אידיאל ראשוני שונה מ-0 של
הוא מקסימלי וראשי. כלומר, אם
הוא ראשוני (או אי פריק) אז עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): F[x]/\left<p(x)\right>
הוא שדה.