הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"
(←איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים) |
(←איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים) |
||
שורה 17: | שורה 17: | ||
− | '''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. | + | '''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. |
'''דוגמא:''' <math>\sqrt{2}</math> הוא אלגברי מעל <math>\mathbb{Q}</math> כי הוא מאפס את <math>x^2-2\in\mathbb{Q}</math>. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים <math>e,\pi</math> הם טרנסצנדנטיים מעל <math>\mathbb{Q}</math>. | '''דוגמא:''' <math>\sqrt{2}</math> הוא אלגברי מעל <math>\mathbb{Q}</math> כי הוא מאפס את <math>x^2-2\in\mathbb{Q}</math>. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים <math>e,\pi</math> הם טרנסצנדנטיים מעל <math>\mathbb{Q}</math>. | ||
שורה 30: | שורה 30: | ||
'''טענה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. אזי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אם ורק אם המימד של <math>F[a]</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> סופי. במקרה זה <math>F[a]</math> שדה. | '''טענה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. אזי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אם ורק אם המימד של <math>F[a]</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> סופי. במקרה זה <math>F[a]</math> שדה. | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה (תקציר):''' כוון אחד: נניח ש-<math>\dim_FF[a]=n<\infty</math>. אזי הקבוצה <math>\{1,a,a^2,\ldots,a^n\}</math> היא בגודל <math>n+1</math> ולכן תלויה לינארית מעל <math>F</math>. לכן קיימים <math>\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F</math>, לא כולם 0, כך ש-<math>\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0</math>. אם נגדיר <math>f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x]</math> אז <math>f(x)\neq 0</math> ובעצם הראינו <math>f(a)=0</math>. לכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | כוון שני: נניח שקיים <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. נסמן <math>n=\deg f</math>. מספיק להראות ש-<math>\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}</math> קבוצה פורשת (מעל <math>F</math>) ל-<math>F[a]</math>. יהי <math>b\in F[a]</math> אזי <math>b=g(a)</math> עבור <math>g(x)\in F[x]</math> כלשהו. קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)\in F[x]</math> כך ש-<math>g(x)=q(x)f(x)+r(x)</math> וגם <math>\deg r<\deg f=n</math>. אזי <math>g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a)</math> ו-<math>r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}</math> כי <math>\deg r<n</math>. | ||
+ | |||
+ | כדי לראות שבמקרה זה <math>F[a]</math> שדה, נשים לב ש-<math>F[a]</math> הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל <math>F</math> ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא: | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).] |
גרסה מ־15:22, 24 בנובמבר 2011
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של
היא כינוי לכל שדה
המכיל את
. לרוב כותבים גם
. באופן טבעי
הוא מרחב וקטורי מעל
. המימד של
מעל
יסומן ב-
(הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: היא הרחבת שדות ממימד סופי.
היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו שדות. אזי
.
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
ו-
הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
אז הקבוצה
היא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
והיא בעלת
איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של
הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש- שדה ו-
תת שדות של
. הקומפוזיטום של
הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את
. הוא יסומן ב-
.
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-
. האיבר
נקרא אלגברי מעל
אם קיים פולינום
כך ש-
. אם לא קיים פולינום כזה,
נקרא טרנסצנדנטי מעל
.
דוגמא: הוא אלגברי מעל
כי הוא מאפס את
. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים
הם טרנסצנדנטיים מעל
.
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-
(וגם ב-
) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה שדה ויהי
שדה השברים של
. קל לבדוק כי
טרנסצנדנטי מעל
. למעשה, כל איבר ב-
הוא טרנסצנדנטי.
הגדרה: הרחבת שדות נקראת אלגברית אם כל איבר ב-
אלגברי מעל
.
סימון: תהי הרחבת שדות ו-
. מסמנים
.
טענה: תהי הרחבת שדות ו-
. אזי
אלגברי מעל
אם ורק אם המימד של
כמרחב וקטורי מעל
סופי. במקרה זה
שדה.
הוכחה (תקציר): כוון אחד: נניח ש-. אזי הקבוצה
היא בגודל
ולכן תלויה לינארית מעל
. לכן קיימים
, לא כולם 0, כך ש-
. אם נגדיר
אז
ובעצם הראינו
. לכן
אלגברי מעל
.
כוון שני: נניח שקיים כך ש-
. נסמן
. מספיק להראות ש-
קבוצה פורשת (מעל
) ל-
. יהי
אזי
עבור
כלשהו. קיימים פולינומים
כך ש-
וגם
. אזי
ו-
כי
.
כדי לראות שבמקרה זה שדה, נשים לב ש-
הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל
ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:
תרגיל: יהי תחום שלמות ו-
שדה כך ש-
. אזי
שדה. [רמז: לכל
ההעתקה
היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]