הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"
(←איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים) |
(←איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים) |
||
שורה 24: | שורה 24: | ||
'''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי. | '''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי. | ||
+ | |||
+ | '''הערה:''' אם <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות ו-<math>a\in L</math> אלגברי מעל <math>F</math> אז הוא גם אלגברי מעל <math>K</math>. (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-<math>F[x]\subseteq K[x]</math>.) | ||
'''הגדרה:''' הרחבת שדות <math>K/F</math> נקראת אלגברית אם כל איבר ב-<math>K</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | '''הגדרה:''' הרחבת שדות <math>K/F</math> נקראת אלגברית אם כל איבר ב-<math>K</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | ||
שורה 39: | שורה 41: | ||
'''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).] | '''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).] | ||
+ | |||
+ | '''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר <math>[K:F]<\infty</math> היא הרחבה אלגברית. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | == תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו == | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. הראו כי <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> שדה. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F</math> ואת <math>a_1,\ldots,a_n</math>. (הערה: <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י <math>F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]</math>. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.) | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>. |
גרסה מ־15:40, 24 בנובמבר 2011
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של
היא כינוי לכל שדה
המכיל את
. לרוב כותבים גם
. באופן טבעי
הוא מרחב וקטורי מעל
. המימד של
מעל
יסומן ב-
(הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: היא הרחבת שדות ממימד סופי.
היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו שדות. אזי
.
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
ו-
הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
אז הקבוצה
היא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
והיא בעלת
איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של
הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש- שדה ו-
תת שדות של
. הקומפוזיטום של
הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את
. הוא יסומן ב-
.
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-
. האיבר
נקרא אלגברי מעל
אם קיים פולינום
כך ש-
. אם לא קיים פולינום כזה,
נקרא טרנסצנדנטי מעל
.
דוגמא: הוא אלגברי מעל
כי הוא מאפס את
. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים
הם טרנסצנדנטיים מעל
.
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-
(וגם ב-
) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה שדה ויהי
שדה השברים של
. קל לבדוק כי
טרנסצנדנטי מעל
. למעשה, כל איבר ב-
הוא טרנסצנדנטי.
הערה: אם שדות ו-
אלגברי מעל
אז הוא גם אלגברי מעל
. (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-
.)
הגדרה: הרחבת שדות נקראת אלגברית אם כל איבר ב-
אלגברי מעל
.
סימון: תהי הרחבת שדות ו-
. מסמנים
.
טענה: תהי הרחבת שדות ו-
. אזי
אלגברי מעל
אם ורק אם המימד של
כמרחב וקטורי מעל
סופי. במקרה זה
שדה.
הוכחה: כוון אחד: נניח ש-. אזי הקבוצה
היא בגודל
ולכן תלויה לינארית מעל
. לכן קיימים
, לא כולם 0, כך ש-
. אם נגדיר
אז
ובעצם הראינו
. לכן
אלגברי מעל
.
כוון שני: נניח שקיים כך ש-
. נסמן
. מספיק להראות ש-
קבוצה פורשת (מעל
) ל-
. יהי
אזי
עבור
כלשהו. קיימים פולינומים
כך ש-
וגם
. אזי
ו-
כי
.
כדי לראות שבמקרה זה שדה, נשים לב ש-
הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל
ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:
תרגיל: יהי תחום שלמות ו-
שדה כך ש-
. אזי
שדה. [רמז: לכל
ההעתקה
היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]
מסקנה: אם הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר
היא הרחבה אלגברית.
תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו
תרגיל: תהי הרחבת שדות ו-
אלגבריים מעל
. הראו כי
שדה. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את
ואת
. (הערה:
מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י
. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)
תרגיל: תהי הרחבת שדות,
אלגבריים מעל
ו-
. הוכיחו כי הקומפוזיטום של
ו-
הוא
.