הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
מ (←התמרות פורייה שימושיות) |
|||
שורה 46: | שורה 46: | ||
== התמרות פורייה == | == התמרות פורייה == | ||
* <math>G(\mathbb R)</math> הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־<math>\mathbb R</math> ל־<math>\mathbb C</math> שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־<math>\mathbb R</math>. | * <math>G(\mathbb R)</math> הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־<math>\mathbb R</math> ל־<math>\mathbb C</math> שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־<math>\mathbb R</math>. | ||
− | * '''התמרת פורייה:''' <math>\hat f=\mathcal F | + | * '''התמרת פורייה:''' <math>\hat f=\mathcal F[f]:\mathbb R\to\mathbb C</math> נקראת "התמרת פורייה של <math>f</math>" ומוגדרת ע״י <math>\hat f(\omega):=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math>. |
* אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי <math>\hat f</math> מוגדרת ורציפה בכל נקודה <math>\omega\in\mathbb R</math>. בנוסף, <math>\lim_{\omega\to\pm\infty}\hat f(\omega)=0</math>. | * אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי <math>\hat f</math> מוגדרת ורציפה בכל נקודה <math>\omega\in\mathbb R</math>. בנוסף, <math>\lim_{\omega\to\pm\infty}\hat f(\omega)=0</math>. | ||
* לכל <math>f,g\in G(\mathbb R)</math> ולכל <math>a,b\in\mathbb C</math> מתקיים: | * לכל <math>f,g\in G(\mathbb R)</math> ולכל <math>a,b\in\mathbb C</math> מתקיים: | ||
− | :* <math>\mathcal F | + | :* <math>\mathcal F[af+bg]=a\mathcal F[f]+b\mathcal F[g]</math> |
:* אם <math>f</math> ממשית אזי <math>\hat f(-\omega)=\overline{\hat f(\omega)}</math>. | :* אם <math>f</math> ממשית אזי <math>\hat f(-\omega)=\overline{\hat f(\omega)}</math>. | ||
::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית וזוגית אזי <math>\hat f(\omega)=\hat f(-\omega)</math> והיא פונקציה ממשית. | ::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית וזוגית אזי <math>\hat f(\omega)=\hat f(-\omega)</math> והיא פונקציה ממשית. | ||
::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית ואי־זוגית אזי <math>\hat f(-\omega)=-\hat f(\omega)</math> והיא פונקציה מדומה. | ::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית ואי־זוגית אזי <math>\hat f(-\omega)=-\hat f(\omega)</math> והיא פונקציה מדומה. | ||
:* אם <math>f</math> מדומה אזי <math>\hat f(-\omega)=-\overline{\hat f(\omega)}</math>. | :* אם <math>f</math> מדומה אזי <math>\hat f(-\omega)=-\overline{\hat f(\omega)}</math>. | ||
− | :* אם <math>a\ne0</math> אזי <math>\mathcal F | + | :* אם <math>a\ne0</math> אזי <math>\mathcal F[f(ax+b)](\omega)=\frac1{|a|}\exp\!\left(\frac{\mathrm ib\omega}2\right)\mathcal F[f]\left(\frac\omega a\right)</math>. |
− | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F\!\left | + | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{\mathrm iax}f(x)\right]\!(\omega)=\mathcal F[f](\omega-a)</math>. |
− | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F | + | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F[\cos(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}2</math>. |
− | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F | + | :* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F[\sin(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}{2\mathrm i}</math>. |
− | :* אם <math>f,f',\dots,f^{(n)}\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\lim_{x\to\pm\infty}=0</math> אזי <math>\mathcal F\!\left | + | :* אם <math>f,f',\dots,f^{(n)}\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0</math> אזי <math>\mathcal F\!\left[f^{(n)}\right]\!(\omega)=(\mathrm i\omega)^n\mathcal F[f](\omega)</math>. |
− | + | :* אם <math>\int\limits_{-\infty}^\infty x|f(x)|\mathrm dx</math> מתכנס אזי <math>\hat f</math> גזירה ברציפות ומתקיים <math>\mathcal F\!\left[x^n f(x)\right]\!(\omega)=\mathrm i^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm d\omega^n}\mathcal F[f](\omega)</math>. | |
− | :* אם <math>\int\limits_{-\infty}^\infty x|f(x)|\mathrm dx</math> מתכנס אזי <math>\hat f</math> גזירה ברציפות ומתקיים <math>\mathcal F\!\left | + | |
* '''התמרת פורייה ההפוכה:''' אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי בכל נקודה <math>x_0</math> שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים <math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>. | * '''התמרת פורייה ההפוכה:''' אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי בכל נקודה <math>x_0</math> שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים <math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>. | ||
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f'\in E(\mathbb R)</math> אזי <math>f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>. | :* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f'\in E(\mathbb R)</math> אזי <math>f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>. | ||
שורה 71: | שורה 70: | ||
* <math>f*(g+h)=f*g+f*h</math> | * <math>f*(g+h)=f*g+f*h</math> | ||
* אם <math>f,g</math> אינטגרביליות בהחלט אז <math>f*g</math> מוגדרת עבורן בכל <math>\mathbb R</math> וגם היא אינטגרבילית בהחלט. | * אם <math>f,g</math> אינטגרביליות בהחלט אז <math>f*g</math> מוגדרת עבורן בכל <math>\mathbb R</math> וגם היא אינטגרבילית בהחלט. | ||
− | * '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\forall f,g\in G(\mathbb R):\ \mathcal F | + | * '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\forall f,g\in G(\mathbb R):\ \mathcal F[f*g]=2\pi\mathcal F[f]\mathcal F[g]</math>. |
:* {{הערה|שימוש חשוב:}} נניח שידועות <math>f,g,\hat f,\hat g</math> ונרצה למצוא <math>h</math> כך ש־<math>\hat h=\hat f\cdot\hat g</math>. אזי <math>h=\frac1{2\pi}f*g</math>. | :* {{הערה|שימוש חשוב:}} נניח שידועות <math>f,g,\hat f,\hat g</math> ונרצה למצוא <math>h</math> כך ש־<math>\hat h=\hat f\cdot\hat g</math>. אזי <math>h=\frac1{2\pi}f*g</math>. | ||
− | |||
=== התמרות פורייה שימושיות === | === התמרות פורייה שימושיות === | ||
− | * <math>\mathcal F\left | + | * <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{-|x|}\right]\!(\omega)=\frac1{\pi(1+\omega^2)}</math> |
− | * <math>\mathcal F\left | + | * <math>\mathcal F\!\left[\mathrm e^{-x^2}\right]\!(\omega)=\frac{\mathrm e^{-\omega^2/4}}{2\sqrt\pi}</math> (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: <math>\hat f'(\omega)=-\frac\omega2\hat f(\omega)</math>). |
− | * עבור <math>a\ge0</math>: <math>\mathcal F | + | * עבור <math>a\ge0</math>: <math>\mathcal F[1_{[-a,a]}](\omega)=\frac{\sin(a\omega)}{\pi\omega}</math> (כאשר <math>1_A</math> היא הפונקציה המציינת של קבוצה <math>A</math>, ומוגדרת ע״י <math>1_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A\\0,&\text{else}\end{cases}</math>). |
+ | |||
+ | == התמרות לפלס == | ||
+ | * '''חסימות מעריכית:''' נאמר ש־<math>f</math> חסומה מעריכית אם קיימים <math>M>0</math> (''חסם מעריכי'') ו־<math>\alpha</math> (''סדר מעריכי'') שעבורם <math>\forall t:\ |f(t)|\le M\mathrm e^{\alpha t}</math>. | ||
+ | * <math>\Lambda(\mathbb R)</math> הוא המרחב הלינארי של פונקציות <math>f:\mathbb R\to\mathbb C</math> חסומות מעריכית כך ש־<math>f\in E[0,\infty)</math> והן אינטגרביליות בהחלט ב־<math>[0,R]</math> לכל <math>0<R<\infty</math>. | ||
+ | * '''התמרת לפלס:''' תהי <math>f\in E[0,\infty)</math> המקבלת ערכים ב־<math>\mathbb C</math>. אזי <math>\mathcal L[f]:\mathbb R\to\mathbb C</math> נקראת "התמרת לפלס של <math>f</math>" ומוגדרת ע״י <math>\mathcal L[f](s)=\int\limits_0^\infty f(t)\mathrm e^{-st}\mathrm dt</math>. | ||
+ | * אם <math>f\in E[0,\infty)</math> וחסומה מעריכית אזי <math>\lim_{s\to\infty}\mathcal L[f](s)=0</math>. | ||
+ | * אם <math>f\in\Lambda(\mathbb R)</math> עם סדר מעריכי <math>\alpha</math> אז קיימת לה התמרת לפלס ב־<math>(\alpha,\infty)</math>. | ||
+ | * <math>\forall a,b\in\mathbb C:\ \mathcal L[af+bg]=a\mathcal L[f]+b\mathcal L[g]</math> | ||
+ | * <math>\mathcal L\!\left[t^n f(t)\right]\!(s)=(-1)^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm ds^n}\mathcal L[f](s)</math> | ||
+ | * '''משפט התמורה של הנגזרת:''' תהי <math>f</math> עם חסם מעריכי <math>\alpha</math> וכך ש־<math>f^{(n)}\in\Lambda(\mathbb R)</math>. אזי התמרת לפלס של <math>f^{(n)}</math> מוגדרת ב־<math>(\alpha,\infty)</math> ומתקיים <math>\mathcal L\!\left[f^{(n)}\right]\!(s)=s^n\mathcal L[f](s)-\sum_{k=0}^{n-1} s^{n-k}f^{(k)}(0)</math>. | ||
+ | * '''קונבולוציה:''' יהיו <math>f,g\in\Lambda(\mathbb R)</math>. אזי <math>\forall t\in[0,\infty):\ (f*g)(t)=\int\limits_0^t f(t-x)g(x)\mathrm dx</math>. | ||
+ | * '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\forall f,g\in\Lambda(\mathbb R):\ \mathcal L[f*g]=\mathcal L[f]\mathcal L[g]</math>. אם בנוסף <math>f,g</math> עם סדר מעריכי אז <math>\mathcal L[f*g](s)</math> מוגדר לכל <math>s>\alpha</math>. | ||
+ | * תהא <math>f\in\Lambda(\mathbb R)</math> ונתונה <math>F(t)=\int\limits_0^t f(x)\mathrm dx</math>. ממשפט הקונבולוציה עם <math>g(t)\equiv1</math> נקבל <math>\mathcal L[F](s)=\frac{\mathcal L[f](s)}s</math>. | ||
+ | * '''פונקציית הביסייד (Heaviside)''' היא <math>H_c(t)=\begin{cases}0,&0\le t\le c\\1,&t\ge c\end{cases}</math>. | ||
+ | * <math>\mathcal L[H_c](s)=\frac{\mathrm e^{-cs}}s,\quad s>0</math> | ||
+ | * <math>\mathcal L[H_c(t)f(t-c)](s)=\mathrm e^{-cs}\mathcal L[f](s)</math> | ||
+ | |||
+ | === התמרות לפלס שימושיות === | ||
+ | בהתמרות הבאות, <math>a</math> הוא מספר ממשי כרצוננו. | ||
+ | * <math>\mathcal L\!\left[\mathrm e^{at}\right]\!(s)=\frac1{s-a},\quad s>a</math> | ||
+ | * <math>\mathcal L\!\left[t\mathrm e^{at}\right]\!(s)=\frac1{(s-a)^2},\quad s>a</math> | ||
+ | * <math>\mathcal L[\sin(at)](s)=\frac a{s^2+a^2},\quad s>0</math> | ||
+ | * <math>\mathcal L[\cos(at)](s)=\frac s{s^2+a^2},\quad s>0</math> | ||
+ | * <math>\mathcal L[H_c](s)=\frac{\mathrm e^{-cs}}s,\quad s>0</math> | ||
== מד״ח == | == מד״ח == | ||
* '''מעבר חום:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>\forall -L\le x\le L:\ u(x,0)=f(x)</math> ותנאי השפה <math>\forall t\ge0:\ u(-L,t)=u(L,t)\ \and\ \frac{\partial u}{\partial x}(-L,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)</math>. | * '''מעבר חום:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>\forall -L\le x\le L:\ u(x,0)=f(x)</math> ותנאי השפה <math>\forall t\ge0:\ u(-L,t)=u(L,t)\ \and\ \frac{\partial u}{\partial x}(-L,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)</math>. | ||
− | :* ''שיטת הפרדת משתנים'': נניח שניתן להציג את הפתרון <math>u(x,t)</math> כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math>. אזי <math>\frac{T'}{k T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> כאשר <math>\lambda</math> מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T'+\lambda T=0\end{cases}</math>. לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־<math>\lambda=\frac{\pi^2n^2}{L^2}</math> עבור <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> ולכן, עבור <math>n</math> נתון, <math>X_n(x)=a_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> פתרון | + | :* ''שיטת הפרדת משתנים'': נניח שניתן להציג את הפתרון <math>u(x,t)</math> כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math>. אזי <math>\frac{T'}{k T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> כאשר <math>\lambda</math> מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T'+\lambda T=0\end{cases}</math>. לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־<math>\lambda=\frac{\pi^2n^2}{L^2}</math> עבור <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> ולכן, עבור <math>n</math> נתון, <math>X_n(x)=a_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> פתרון לכל <math>a_n,b_n</math>. לגבי המד״ר השנייה, <math>T_n(t)=\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)</math> הוא פתרון עבור <math>n</math> נתון. הפתרון הכללי של <math>u</math> הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: <math>u(x,t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\right)</math>, כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־<math>a_n,b_n</math> מקדמי טור פורייה של <math>f</math> ב־<math>[-L,L]</math>. |
− | :* ''שימוש בהתמרת פורייה:'' נסמן <math>\hat u(\omega,t)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty u(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math> (כלומר, זו התמרת פורייה של <math>u</math> לפי <math>x</math>). לפי המד״ח <math>\frac{\partial\hat u}{\partial t}(\omega,t)=\frac k{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=k\mathcal F\!\left | + | :* ''שימוש בהתמרת פורייה:'' נסמן <math>\hat u(\omega,t)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty u(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math> (כלומר, זו התמרת פורייה של <math>u</math> לפי <math>x</math>). לפי המד״ח <math>\frac{\partial\hat u}{\partial t}(\omega,t)=\frac k{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=k\mathcal F\!\left[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right]\!(\omega,t)=k(\mathrm i\omega)^2\hat u(\omega,t)</math>. פתרונה של המד״ר הזו הוא <math>\hat u(\omega,t)=A(\omega)\mathrm e^{-k\omega^2t}</math>, והצבה של <math>t=0</math> תתן <math>A(\omega)=\hat u(\omega,0)=\hat f(\omega)</math>. עתה נחפש פונקציה <math>g</math> כך שהתמרת פורייה שלה לפי <math>x</math> תהא <math>\hat g(\omega,t)=\mathrm e^{-k\omega^2 t}</math>. לפי ההתמרה של <math>\mathrm e^{-x^2}</math> וכמה מתכונות ההתמרה נקבל <math>g(x,t)=\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4kt}\right)</math> ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, <math>u(x,t)=\frac{g(x,t)*f(x)}{2\pi}=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(s)\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{(x-s)^2}{4kt}\right)\mathrm ds</math>. |
* '''משוואות גלים:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k\ne0</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>u(x,0)=\varphi(x)</math> ו־<math>\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)</math> ותנאי שפה <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math> (''שיטת הפרדת משתנים'') ולכן <math>\frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> עבור <math>\lambda</math> מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases}</math>, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל <math>u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> כאשר <math>a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx</math>. | * '''משוואות גלים:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k\ne0</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>u(x,0)=\varphi(x)</math> ו־<math>\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)</math> ותנאי שפה <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math> (''שיטת הפרדת משתנים'') ולכן <math>\frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> עבור <math>\lambda</math> מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases}</math>, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל <math>u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> כאשר <math>a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx</math>. | ||
+ | * נתונה מד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את <math>\mathcal L[y]</math> (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה. |
גרסה מ־21:44, 22 בספטמבר 2012
תוכן עניינים
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
-
פונקציות.
- בהנתן
נסמן
ו־
.
-
הם מקדמי פורייה של
(בהתאמה) בטור פורייה של
, ו־
מקדמי פורייה של
בטור פורייה המרוכב.
-
היא העצרת הכפולה של
, והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם
אי־זוגי) מ־1 עד
, או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר:
ו־
.
-
אורתונורמלית ו־
אורתוגונלית.
תזכורות ותוספות לאלגברה לינארית
- אי־שוויון הולדר: אם
כאשר
(כלומר,
צמודים) אזי
.
- אם
אזי
.
- ההיטל של
על
הוא
.
- אם
בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־
ב־
הוא
, כלומר
.
- אי־שוויון בסל:
.
- תהליך גרם־שמידט: בהנתן בסיס
נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי
ובסיס אורתונורמלי
באופן הבא:
- מרחב הפולינומים ממעלה
או פחות מסומן
.
- פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית
על מרחב הפולינומים
, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס
הם
ניתן לחשב אותם גם ע״יאו
, והם מקיימים
.
- פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית
על מרחב הפולינומים
, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס
הם
ניתן לחשב אותם גם ע״י(נוסחת רודריגז) או
, והם מקיימים
.
טורי פורייה
- פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע
יוצרות מרחב מכפלה פנימית
עם
. מכפלה פנימית שימושית נוספת היא
.
-
הוא סימון מקוצר ל־
.
-
- מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית
במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור
את התנאי
.
- המערכות
ו־
אורתונורמליות סגורות ב־
לפי המכפלות הפנימיות
ו־
בהתאמה.
- טור פורייה של
ב־
הוא
כאשר
.
- אם
זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
- מתקיים
.
- אם
- טור פורייה המרוכב של
ב־
הוא
כאשר
.
- מתקיים
וכן
.
- מתקיים
- אם
ו־
הסכום החלקי ה־
־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של
, אזי
.
-
הוא מרחב כל הפוקנציות ב־
שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־
למעט, אולי, בקצות הקטע.
- משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי
אינטגרבילית בהחלט ב־
ובעלת מחזור
. בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־
מתכנס ל־
.
- אם
אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־
.
- אם
נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־
.
- תופעת גיבס: נניח שבנוסף
ו־
נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של
כך ש־
. כמו כן,
הסכום החלקי ה־
־י של טור פורייה של
. אזי קיימת סדרת נקודות
המקיימת
וכן
, וזו השגיאה המקסימלית.
- תופעת גיבס: נניח שבנוסף
- אם
- למת רימן־לבג: אם
אינטגרבילית בהחלט אזי
כאשר
(זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
- גרעין דיריכלה:
. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־
שווה ל־
.
- אם
רציפה ב־
ו־
אז טור פורייה של
יתכנס אליה במ״ש על הקטע.
- שוויון פרסבל: אם
אזי
ו־
.
- שוויון פרסבל המוכלל: אם
אזי
כאשר
.
- שוויון פרסבל המוכלל: אם
- אם
רציפה ב־
,
ו־
אזי טור פורייה של
גזיר איבר־איבר ומתקיים
.
- אם
אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל
ולכל
מתקיים
והטורים מתכנסים במ״ש.
- אם
קדומה ל־
ב־
אזי
.
- אם
התמרות פורייה
-
הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־
ל־
שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־
.
- התמרת פורייה:
נקראת "התמרת פורייה של
" ומוגדרת ע״י
.
- אם
אזי
מוגדרת ורציפה בכל נקודה
. בנוסף,
.
- לכל
ולכל
מתקיים:
-
- אם
ממשית אזי
.
- מקרה פרטי: אם
ממשית וזוגית אזי
והיא פונקציה ממשית.
- מקרה פרטי: אם
ממשית ואי־זוגית אזי
והיא פונקציה מדומה.
- מקרה פרטי: אם
- אם
מדומה אזי
.
- אם
אזי
.
- אם
אזי
.
- אם
אזי
.
- אם
אזי
.
- אם
ו־
אזי
.
- אם
מתכנס אזי
גזירה ברציפות ומתקיים
.
-
- התמרת פורייה ההפוכה: אם
אזי בכל נקודה
שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים
.
- מקרה פרטי: אם
אזי
.
- מקרה פרטי: אם
- עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה: תהי
המקיימת
, ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה
שלה. נוכל להציב
ב־
, לחלק את שני האגפים ב־
ולקבל
.
- אם
ו־
ו־
מתכנסים אזי
.
- מקרה פרטי: נוסחת פלנרשל (Plancherel): אם
ו־
ו־
מתכנסים אזי
.
- מקרה פרטי: נוסחת פלנרשל (Plancherel): אם
- קונבולוציה: יהיו
. אזי
.
-
-
-
- אם
אינטגרביליות בהחלט אז
מוגדרת עבורן בכל
וגם היא אינטגרבילית בהחלט.
- משפט הקונבולוציה:
.
- שימוש חשוב: נניח שידועות
ונרצה למצוא
כך ש־
. אזי
.
- שימוש חשוב: נניח שידועות
התמרות פורייה שימושיות
-
-
(הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת:
).
- עבור
:
(כאשר
היא הפונקציה המציינת של קבוצה
, ומוגדרת ע״י
).
התמרות לפלס
- חסימות מעריכית: נאמר ש־
חסומה מעריכית אם קיימים
(חסם מעריכי) ו־
(סדר מעריכי) שעבורם
.
-
הוא המרחב הלינארי של פונקציות
חסומות מעריכית כך ש־
והן אינטגרביליות בהחלט ב־
לכל
.
- התמרת לפלס: תהי
המקבלת ערכים ב־
. אזי
נקראת "התמרת לפלס של
" ומוגדרת ע״י
.
- אם
וחסומה מעריכית אזי
.
- אם
עם סדר מעריכי
אז קיימת לה התמרת לפלס ב־
.
-
-
- משפט התמורה של הנגזרת: תהי
עם חסם מעריכי
וכך ש־
. אזי התמרת לפלס של
מוגדרת ב־
ומתקיים
.
- קונבולוציה: יהיו
. אזי
.
- משפט הקונבולוציה:
. אם בנוסף
עם סדר מעריכי אז
מוגדר לכל
.
- תהא
ונתונה
. ממשפט הקונבולוציה עם
נקבל
.
- פונקציית הביסייד (Heaviside) היא
.
-
-
התמרות לפלס שימושיות
בהתמרות הבאות, הוא מספר ממשי כרצוננו.
מד״ח
- מעבר חום: נתונה המד״ח
(
קבוע) עם תנאי ההתחלה
ותנאי השפה
.
- שיטת הפרדת משתנים: נניח שניתן להציג את הפתרון
כמכפלה
. אזי
כאשר
מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות:
. לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־
עבור
ולכן, עבור
נתון,
פתרון לכל
. לגבי המד״ר השנייה,
הוא פתרון עבור
נתון. הפתרון הכללי של
הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס:
, כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־
מקדמי טור פורייה של
ב־
.
- שימוש בהתמרת פורייה: נסמן
(כלומר, זו התמרת פורייה של
לפי
). לפי המד״ח
. פתרונה של המד״ר הזו הוא
, והצבה של
תתן
. עתה נחפש פונקציה
כך שהתמרת פורייה שלה לפי
תהא
. לפי ההתמרה של
וכמה מתכונות ההתמרה נקבל
ולכן, לפי משפט הקונבולוציה,
.
- שיטת הפרדת משתנים: נניח שניתן להציג את הפתרון
- משוואות גלים: נתונה המד״ח
(
קבוע) עם תנאי ההתחלה
ו־
ותנאי שפה
. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה
(שיטת הפרדת משתנים) ולכן
עבור
מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות:
, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל
כאשר
.
- נתונה מד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את
(תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה.