תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
הערות:
* <math>\vec r, \vec v, \vec a, m</math> הן המיקום, המהירות, התאוצה והמסה כפונקציה של הזמן <math>t</math> בהתאמה.
* לכל שתי פונקציות פיזיקליות <math>f,g</math> של הזמן נסמן <math>f_g:=f\circ g^{-1}</math>. למשל, <math>\vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t)</math>, כלומר <math>\vec v_\vec r</math> היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
* לכל פונקציה <math>f</math> של הזמן נסמן <math>f_0=f(0)</math> ערך הפונקציה בזמן ההתחלה.
* לפעמים נסמן <math>f</math> במקום <math>f(t)</math>.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו.
* נזכיר שלכל פונקציה <math>f</math> מגדירים <math>f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\}</math>.


== הקדמה ==
== הקדמה ==
שורה 15: שורה 16:
=== קבועים ===
=== קבועים ===
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac ms</math>
* '''גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:''' <math>g\approx9.8\mathrm\frac ms</math>
* '''קבוע הגרביטציה האוניברסלי:''' <math>G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2}</math>


=== תזכורות ונוסחאות ===
=== תזכורות ונוסחאות ===
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''מכפלה וקטורית:''' <math>\vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix}</math>
* '''גרדיאנט:''' <math>\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z</math>
* '''גרדיאנט:''' <math>\nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z</math>
* '''דיברגנץ:''' <math>\nabla\cdot F:=\frac{\mathrm dF_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dF_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm dF_z}{\mathrm dz}</math>
* '''דיברגנץ:''' <math>\nabla\cdot\vec F:=\frac{\mathrm d\vec F_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm d\vec F_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm d\vec F_z}{\mathrm dz}</math>
* '''רוטור/קרל:''' <math>\nabla\times F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z</math>
* '''רוטור/קרל:''' <math>\nabla\times\vec F=\left(\frac{\partial\vec F_z}{\partial y}-\frac{\partial\vec F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial\vec F_x}{\partial z}-\frac{\partial\vec F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial\vec F_y}{\partial x}-\frac{\partial\vec F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z</math>
* '''לפלסיאן:''' <math>\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
* '''לפלסיאן:''' <math>\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>


שורה 54: שורה 56:
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p=m\vec v</math>.
* '''התנע:''' <math>\vec p:=m\vec v</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\vec v_0</math>. אזי <math>\vec r=\vec v_0t+\vec r_0</math>.
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec r=\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\vec a_0</math>. אזי <math>\vec v=\vec a_0t+\vec v_0</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v_0t+\vec r_0</math>.
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\text{const.}</math>. אזי <math>\vec v=\vec a(0)t+\vec v(0)</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0)</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה בגודל מהירות קבוע:''' <math>|\vec v|\equiv\text{const.}</math>. זה קורה אם״ם <math>\vec a\perp\vec v</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
* '''תנועה כללית במעגל:''' אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור <math>xy</math> שרדיוסו <math>R</math> אזי <math>\vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}</math>, ו־<math>\vec a=\vec a_R+\vec a_T</math> כאשר <math>\vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r</math> נקראת '''התאוצה הרדיאלית''' והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־<math>\vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v</math> נקראת '''התאוצה הטנגנטית/משיקית''' והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן <math>\vec\omega:=\omega\hat\mathbf z</math> נקבל <math>\vec v=\vec\omega\times\vec r</math> ו־<math>\vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r</math>.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta_0</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
:* '''תנועה קצובה במעגל:''' תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־<math>\omega(t)\equiv\text{const.}</math>. לכן <math>\theta=\omega t+\theta(0)</math> ו־<math>\vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R</math>. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>.


== מכניקה ==
== מכניקה ניוטונית ==
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
=== חוקי התנועה של ניוטון ===
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>.
# גוף שמסתו <math>m</math> ופועל עליו כוח <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# הכוח שפועל על גוף נתון הוא <math>\vec F=\dot\vec p</math>.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.
# אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1.


=== כוחות נפוצים ===
=== אנרגיה ===
* '''כוח אלסטי:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_\text{loose}</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח <math>\vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose})</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta x</math> השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
* '''האנרגיה הקינטית''' של גוף היא <math>E_k:=\frac{m v^2}2</math>.
:* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו.
* '''העבודה''' שמבצע כוח <math>\vec F</math> בין הזמנים <math>t_1</math> עד <math>t_2</math> היא <math>W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt</math>.
:* {{הערה|דוגמה:}} אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> וש־<math>x_0=0</math> היא הנקודה בה הקפיץ רפוי אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, <math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
* <math>W=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1)</math>.
* '''כוח מתיחות:''' בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני כוח <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
* '''כוח משמר:''' כוח <math>\vec F</math> המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל <math>t_1,t_2</math>:
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל כוח <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
*# האינטגרל <math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום <math>\vec r(t_1),\vec r(t_2)</math>.
* '''כוח הכובד:''' בקרבת כדה״א מופעל כוח הגרביטציה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה.
*# לכל מסלול סגור מתקיים <math>\oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0</math>.
*# קיימת פונקציה <math>U</math> בתחום כך ש־<math>\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2)</math> לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
*# קיימת פונקציה <math>U_\vec r</math> בתחום כך ש־<math>\vec F_\vec r(\vec r)=-\nabla U_\vec r(\vec r)</math>.
*# מתקיים <math>\forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0</math>.
* '''אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל''' של גוף עליו פועל כוח משמר <math>\vec F</math> היא <math>U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r</math> כאשר <math>\vec r_0</math> היא ''נקודת הייחוס''.
* אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>U(t_1)-U(t_2)=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1)</math>.
* '''אנרגיה כללית''' של גוף עליו פועל כוח משמר היא <math>E:=E_k+U</math>.
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם על גוף פועל כוח משמר אז <math>E\equiv\text{const.}</math>, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
* '''פוטנציאל אפקטיבי:''' האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור <math>xy</math> היא <math>E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U</math>. גודל התנע הזוויתי הוא <math>L=m\rho^2\omega</math> ולכן <math>E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff}</math> כאשר <math>U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U</math> הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.


=== חוקי השימור ===
=== מערכות גופים ===
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>. מסת הגוף <math>i</math> מסומנת <math>m_i</math>, מיקומו <math>\vec r_i</math> והתנע שלו – <math>\vec p_i</math>.
תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M</math>.
* '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\dot\vec p_i=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
* '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=\vec 0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע.
:* אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
:* אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
* '''חוק שימור האנרגיה:''' אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז <math>\sum_{i=1}^n\Big(E_{ki}+U_i\Big)\equiv\text{const.}</math>.
=== תנע זוויתי ===
* '''התנע הזוויתי'''  של גוף מוגדר כ־<math>\vec L:=\vec r\times\vec p</math>.
* '''הטורק/מומנט הפיתול''' של גוף מוגדר כ־<math>\vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L</math>.
* '''חוק שימור התנע הזוויתי:''' אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־<math>\vec r</math> אז <math>\vec L\equiv\text{const.}</math>.
== דוגמאות חשובות ==
* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו.
** '''קפיץ:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_\text{loose}</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני ''כוח אלסטי'' <math>\vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose})</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta x</math> השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
*** אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> וש־<math>x(0)=0</math> היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, <math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.<br />נגדיר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא <math>U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2</math>.
* '''מתיחות:''' בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני ''כוח מתיחות'' <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
* '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל ''כוח נורמלי'' <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
* '''החוק הרביעי של ניוטון:''' בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 ''כוח כבידה'' משמר <math>\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>.<br />אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא <math>U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math>.
** בקרבתו מפעיל כדה״א כוח הכבידה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה.<br />אם נגדיר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז <math>U=-\int_0^z-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz</math>.
* '''כוח מרכזי:''' כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב.
* '''התנגשות פלסטית:''' הגופים <math>1,2,\dots,n</math> נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. המהירות המשותפת לאחר ההתנגשות היא <math>\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec v_i}M</math> אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math>.
* '''התנגשות אלסטית:''' הגופים <math>1,2</math> נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שעל הגופים לא פועלים כוחות חיצוניים ושגודל מהירותם לפני ההתנגשות הוא <math>v_i</math> ואחריה <math>u_i</math>. אזי משימור התנע מקבלים <math>m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2</math> וביחד עם שימור האנרגיה מקבלים <math>v_1+u_1=v_2+u_2</math>. משתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.

גרסה מ־20:30, 2 במאי 2013

הערות:

  • לכל שתי פונקציות פיזיקליות [math]\displaystyle{ f,g }[/math] של הזמן נסמן [math]\displaystyle{ f_g:=f\circ g^{-1} }[/math]. למשל, [math]\displaystyle{ \vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \vec v_\vec r }[/math] היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
  • לפעמים נסמן [math]\displaystyle{ f }[/math] במקום [math]\displaystyle{ f(t) }[/math].
  • לכל וקטור [math]\displaystyle{ \vec u }[/math] נסמן כ־[math]\displaystyle{ u=|\vec u| }[/math] את גודלו וכ־[math]\displaystyle{ \hat u=\sgn(\vec u) }[/math] את כיוונו.
  • נזכיר שלכל פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\} }[/math].

הקדמה

יחידות

  • זמן – שנייה: [math]\displaystyle{ \mathrm s }[/math]
  • מרחק – מטר: [math]\displaystyle{ \mathrm m }[/math]
  • מסה – קילוגרם: [math]\displaystyle{ \mathrm{kg} }[/math]
  • כוח – ניוטון: [math]\displaystyle{ \mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}} }[/math]
  • אנרגיה – ג׳אול: [math]\displaystyle{ \mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m} }[/math]
  • תדירות – הרץ: [math]\displaystyle{ \mathrm{Hz=s^{-1}} }[/math]

קבועים

  • גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א: [math]\displaystyle{ g\approx9.8\mathrm\frac ms }[/math]
  • קבוע הגרביטציה האוניברסלי: [math]\displaystyle{ G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2} }[/math]

תזכורות ונוסחאות

  • מכפלה וקטורית: [math]\displaystyle{ \vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix} }[/math]
  • גרדיאנט: [math]\displaystyle{ \nabla f:=\frac{\partial f}{\partial x}\hat\mathbf x+\frac{\partial f}{\partial y}\hat\mathbf y+\frac{\partial f}{\partial z}\hat\mathbf z }[/math]
  • דיברגנץ: [math]\displaystyle{ \nabla\cdot\vec F:=\frac{\mathrm d\vec F_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm d\vec F_y}{\mathrm dy}+\frac{\mathrm d\vec F_z}{\mathrm dz} }[/math]
  • רוטור/קרל: [math]\displaystyle{ \nabla\times\vec F=\left(\frac{\partial\vec F_z}{\partial y}-\frac{\partial\vec F_y}{\partial z}\right)\hat\mathbf x+\left(\frac{\partial\vec F_x}{\partial z}-\frac{\partial\vec F_z}{\partial x}\right)\hat\mathbf y+\left(\frac{\partial\vec F_y}{\partial x}-\frac{\partial\vec F_x}{\partial y}\right)\hat\mathbf z }[/math]
  • לפלסיאן: [math]\displaystyle{ \nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} }[/math]

קואורדינטות

עבור [math]\displaystyle{ x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] }[/math] קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:

מ־↓ ל־← קרטזיות גליליות כדוריות
קרטזיות [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array} }[/math] [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array} }[/math]
גליליות [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array} }[/math] [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array} }[/math]
כדוריות [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array} }[/math] [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x\gt 0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x\lt 0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases} }[/math].

כמו כן, [math]\displaystyle{ \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\rho\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\theta }[/math].

קינמטיקה

  • [math]\displaystyle{ \vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v }[/math].
  • התדירות הזוויתית: [math]\displaystyle{ \omega:=\dot\theta }[/math].
  • התנע: [math]\displaystyle{ \vec p:=m\vec v }[/math].
  • תנועה במהירות קבועה: [math]\displaystyle{ \vec v(t)\equiv\text{const.} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \vec r=\vec v(0)t+\vec r(0) }[/math].
  • תנועה בתאוצה קבועה: [math]\displaystyle{ \vec a(t)\equiv\text{const.} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \vec v=\vec a(0)t+\vec v(0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0) }[/math].
  • תנועה בגודל מהירות קבוע: [math]\displaystyle{ |\vec v|\equiv\text{const.} }[/math]. זה קורה אם״ם [math]\displaystyle{ \vec a\perp\vec v }[/math].
  • תנועה כללית במעגל: אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור [math]\displaystyle{ xy }[/math] שרדיוסו [math]\displaystyle{ R }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix} }[/math], [math]\displaystyle{ \vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \vec a=\vec a_R+\vec a_T }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r }[/math] נקראת התאוצה הרדיאלית והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־[math]\displaystyle{ \vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v }[/math] נקראת התאוצה הטנגנטית/משיקית והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן [math]\displaystyle{ \vec\omega:=\omega\hat\mathbf z }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \vec v=\vec\omega\times\vec r }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r }[/math].
  • תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־[math]\displaystyle{ \omega(t)\equiv\text{const.} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \theta=\omega t+\theta(0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R }[/math]. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
  • התדירות מוגדרת כ־[math]\displaystyle{ f:=\frac\omega{2\pi} }[/math].
  • זמן המחזור מוגדר כ־[math]\displaystyle{ T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega }[/math].

מכניקה ניוטונית

חוקי התנועה של ניוטון

  1. גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: [math]\displaystyle{ \vec v\equiv\text{const.} }[/math].
  2. הכוח שפועל על גוף נתון הוא [math]\displaystyle{ \vec F=\dot\vec p }[/math].
  3. אם גוף 1 מפעיל כוח [math]\displaystyle{ \vec F_{21} }[/math] על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח [math]\displaystyle{ \vec F_{12}=-\vec F_{21} }[/math] על גוף 1.

אנרגיה

  • האנרגיה הקינטית של גוף היא [math]\displaystyle{ E_k:=\frac{m v^2}2 }[/math].
  • העבודה שמבצע כוח [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] בין הזמנים [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] עד [math]\displaystyle{ t_2 }[/math] היא [math]\displaystyle{ W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt }[/math].
  • [math]\displaystyle{ W=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1) }[/math].
  • כוח משמר: כוח [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל [math]\displaystyle{ t_1,t_2 }[/math]:
    1. האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r }[/math] אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום [math]\displaystyle{ \vec r(t_1),\vec r(t_2) }[/math].
    2. לכל מסלול סגור מתקיים [math]\displaystyle{ \oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0 }[/math].
    3. קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ U }[/math] בתחום כך ש־[math]\displaystyle{ \int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2) }[/math] לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
    4. קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ U_\vec r }[/math] בתחום כך ש־[math]\displaystyle{ \vec F_\vec r(\vec r)=-\nabla U_\vec r(\vec r) }[/math].
    5. מתקיים [math]\displaystyle{ \forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0 }[/math].
  • אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל של גוף עליו פועל כוח משמר [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] היא [math]\displaystyle{ U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec r_0 }[/math] היא נקודת הייחוס.
  • אם על גוף פועל כוח משמר אז [math]\displaystyle{ U(t_1)-U(t_2)=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1) }[/math].
  • אנרגיה כללית של גוף עליו פועל כוח משמר היא [math]\displaystyle{ E:=E_k+U }[/math].
  • חוק שימור האנרגיה: אם על גוף פועל כוח משמר אז [math]\displaystyle{ E\equiv\text{const.} }[/math], כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
  • פוטנציאל אפקטיבי: האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור [math]\displaystyle{ xy }[/math] היא [math]\displaystyle{ E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U }[/math]. גודל התנע הזוויתי הוא [math]\displaystyle{ L=m\rho^2\omega }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U }[/math] הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

מערכות גופים

תהא מערכת ובה הגופים [math]\displaystyle{ 1,2,\dots,n }[/math]. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף [math]\displaystyle{ i }[/math] כ־[math]\displaystyle{ \vec F_{ie} }[/math].

  • המסה הכוללת של המערכת מוגדרת כ־[math]\displaystyle{ M:=\sum_{i=1}^n m_i }[/math].
  • מרכז המסה של המערכת מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M }[/math].
  • התנע הכולל של המערכת מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i }[/math]. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־[math]\displaystyle{ M\dot\vec R }[/math].
  • לפי החוק השלישי של ניוטון [math]\displaystyle{ \dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie} }[/math].
  • חוק שימור התנע: אם שקול הכוחות החיצוניים הוא [math]\displaystyle{ \vec 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \dot\vec p=\vec 0 }[/math], כלומר התנע הכולל קבוע.
  • אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
  • חוק שימור האנרגיה: אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\Big(E_{ki}+U_i\Big)\equiv\text{const.} }[/math].

תנע זוויתי

  • התנע הזוויתי של גוף מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec L:=\vec r\times\vec p }[/math].
  • הטורק/מומנט הפיתול של גוף מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L }[/math].
  • חוק שימור התנע הזוויתי: אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־[math]\displaystyle{ \vec r }[/math] אז [math]\displaystyle{ \vec L\equiv\text{const.} }[/math].

דוגמאות חשובות

  • מתנד (אוסצילטור) הרמוני: מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו.
    • קפיץ: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה [math]\displaystyle{ \vec r_\text{loose} }[/math] במצב רפוי ובנקודה [math]\displaystyle{ \vec r }[/math] בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח אלסטי [math]\displaystyle{ \vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose}) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math] הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־[math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
      • אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] וש־[math]\displaystyle{ x(0)=0 }[/math] היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] על הגוף תהא [math]\displaystyle{ F_x=-kx=m\ddot x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x(t)=A\sin(\omega t+\phi) }[/math] כש־[math]\displaystyle{ m }[/math] מסת הגוף, [math]\displaystyle{ \omega=\sqrt\frac km }[/math], [math]\displaystyle{ A }[/math] היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
        נגדיר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא [math]\displaystyle{ U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2 }[/math].
  • מתיחות: בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני כוח מתיחות [math]\displaystyle{ \vec T=-T\hat\mathbf n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \hat\mathbf n }[/math] וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־[math]\displaystyle{ T }[/math] גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
  • כוח נורמלי: משטח מפעיל כוח נורמלי [math]\displaystyle{ \vec N }[/math] על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
  • החוק הרביעי של ניוטון: בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 כוח כבידה משמר [math]\displaystyle{ \vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3} }[/math].
    אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא [math]\displaystyle{ U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|} }[/math].
    • בקרבתו מפעיל כדה״א כוח הכבידה [math]\displaystyle{ -mg\hat\mathbf z }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ m }[/math] מסת הגוף ו־[math]\displaystyle{ \hat\mathbf z }[/math] וקטור יחידה בכיוון מעלה.
      אם נגדיר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז [math]\displaystyle{ U=-\int_0^z-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz }[/math].
  • כוח מרכזי: כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב.
  • התנגשות פלסטית: הגופים [math]\displaystyle{ 1,2,\dots,n }[/math] נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. המהירות המשותפת לאחר ההתנגשות היא [math]\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec v_i}M }[/math] אם שקול הכוחות החיצוניים הוא [math]\displaystyle{ \vec 0 }[/math].
  • התנגשות אלסטית: הגופים [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math] נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שעל הגופים לא פועלים כוחות חיצוניים ושגודל מהירותם לפני ההתנגשות הוא [math]\displaystyle{ v_i }[/math] ואחריה [math]\displaystyle{ u_i }[/math]. אזי משימור התנע מקבלים [math]\displaystyle{ m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2 }[/math] וביחד עם שימור האנרגיה מקבלים [math]\displaystyle{ v_1+u_1=v_2+u_2 }[/math]. משתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.