הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11"
מ |
(←דוגמאות) |
||
שורה 19: | שורה 19: | ||
# נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}</math>. | # נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}</math>. | ||
# <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^{\ln\left(\frac12\right)}\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math>, ובפרט מתכנס. | # <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^{\ln\left(\frac12\right)}\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math>, ובפרט מתכנס. | ||
− | # דרך כתיבה מקוצרת: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2</math>. | + | # דרך כתיבה מקוצרת: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2</math>. |
גרסה אחרונה מ־11:04, 6 באפריל 2016
את משפט 10 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג . כמובן שיש מקבילה גמורה לאינטגרלים האלה:
, ושאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בכל . נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי
. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-
אז היא אינטגרבילית מקומית.
תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו להיות
בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-
מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר
ונבדוק את שתי הטענות הבאות:
- שני האינטגרלים
מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים
מתכנסים.
- עפ"י משפט 2,
מתכנס אם"ם
מתכנס. באותו אופן
מתכנס אם"ם
מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
- עפ"י משפט 2,
- נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים
מתכנסים אז הם שווים ל-
.
- ובכן עפ"י משפט 2,
וגם
. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
- ובכן עפ"י משפט 2,
אינטגרל לא אמיתי, סוג II
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-
f אינטגרבילית בקטע
(למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-
). לכן נגדיר
אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל
מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע
. אם אין גבול אומרים ש-
מתבדר.
דוגמאות
- נקח
ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי
. עבור
נקבל
והאינטגרל מתבדר. עבור
נקבל
.
-
. נציב
וכן
לקבל
, ובפרט מתכנס.
- דרך כתיבה מקוצרת:
.
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
הנחה קבועה: למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-.
משפט 1
אם f ו-g אינטגרביליות ב- ואם c קבוע אז
אינטגרבילית בקטע
ומתקיים
.
משפט 2
עבור f אינטגרבילית בקטע
אם"ם היא אינטגרבילית בקטע
ואם כן
.
משפט 3
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע . אזי
קיים אם"ם f חסומה בקטע
.
משפט 4
אם אז האינטגרל
מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
.
משפט 5 (מבחן ההשוואה)
נניח שב- מתקיים
.
- אם
מתכנס אז
מתכנס.
- אם
מתבדר אז
מתבדר.
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
משפט 6 (מבחן ההשוואה הגבולי)
נניח ש- ונניח שקיים ממש
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
מסקנה
אם בפרט אז
מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
משפט 7
האינטגרל מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי:
משפט 8
אם מתכנס בהחלט אז
מתכנס.
באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים
). כמו כן, אם f מוגדרת ב-
ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדירים
עבור
כלשהו ונאמר ש-
מתכנס אם"ם שני האינטגרלים
מתכנסים.
אם f מוגדרת ב- למעט איזו נקודת בייניים
שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר
כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.