הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏משוואות קושי-רימן)
שורה 23: שורה 23:
 
סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!
 
סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!
  
−
==משוואות קושי-רימן==
+
==תנאי קושי-רימן==
  
 
===נגזרות חלקיות===
 
===נגזרות חלקיות===
 
תהי <math>U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.
 
תהי <math>U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.
  
−
'''דוגמא''': <math>U(x,y)=x^2+2xy</math> אז הנגזרות החלקיות הן: <math>U_x=2x+2y,U_y=2x</math>. כמובן, הנגזרת בעצמה היא פונקציה בשתי משתנים, ולכן גם אותה ניתן לגזור לפי כל אחד מהמשתנים. כלומר נקבל שיש 4 "נגזרת שנייה":
+
'''דוגמא''': <math>U(x,y)=x^2+2xy</math> אז הנגזרות החלקיות הן: <math>U_x=2x+2y,U_y=2x</math>.
  
−
1. <math>U_{xx}=2</math>.
+
עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.
  
−
2. <math>U_{xy}=2</math>.
+
כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של <math>U,V</math> המתאימות.
  
−
3. <math>U_{yx}=2</math>.
+
===תנאי קושי רימן===
 +
תהי <math>f(x+yi)=U(x,y)+V(x,y)i</math> פונקציה מרוכבת. <math>f</math> גזירה בנקודה <math>z_0=(x_o,y_0)</math> '''אם ורק אם''' הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:
  
−
4. <math>U_{yy}=0</math>.
+
<math>\begin{cases} U_x=V_y \\ U_y=-V_x \end{cases}</math>.
  
−
עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.
+
ובמקרה זה מתקיים: <math>f'(x_0+y_0i)=U_x(x_0,y_0)+V_x(x_0,y_0)i=V_y(x_0,y_0)-U_y(x_0,y_0)i</math>.
 +
 
 +
====תרגיל====
 +
באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות:
 +
 
 +
1. <math>f(x+yi)=x+y^3i</math>
 +
 
 +
2. <math>f(z)=z+Re(z)</math>
 +
 
 +
3. <math>f(z)=(z-1)(Re(z))^2</math>
 +
 
 +
4. <math>f(x+yi)=e^x\text{cis}y</math>
 +
 
 +
=====פתרון=====
 +
 
 +
===משפט===
 +
פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה.
 +
 
 +
====תרגיל====
 +
הוכיחו שאם <math>f=U+Vi</math> גזירה והחלק הממשי של <math>f</math> הוא פונקציה קבועה אז <math>f</math> קבועה.
 +
 
 +
=====פתרון=====
 +
<math>U</math> קבועה ולכן <math>U_x=U_y=0</math>, וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן <math>V_y=U_x=0,V_x=-U_y=0</math>, ולכן גם <math>V</math> קבועה. ולכן<math>f</math> קבועה.

גרסה מ־10:47, 27 בנובמבר 2018

חזרה ל מערכי תרגול.

הגדרה

נאמר שפונקציה גזירה בנקד' z_0 אם לכל סדרה \triangle z\to 0 קיים הגבול \underset{\lim}{\triangle z\to 0}\frac{f(\triangle z+z_0)-f(z_0)}{\triangle z}, ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.

דוגמאות

תרגיל

האם הפונקציה f(z)=z^2 גזירה?

פתרון

כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!

תרגיל

האם הפונקציה f(a+bi)=2a-3bi גזירה באפס?

פתרון

לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.

משפטים

סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!

תנאי קושי-רימן

נגזרות חלקיות

תהי U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.

דוגמא: U(x,y)=x^2+2xy אז הנגזרות החלקיות הן: U_x=2x+2y,U_y=2x.

עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.

כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של U,V המתאימות.

תנאי קושי רימן

תהי f(x+yi)=U(x,y)+V(x,y)i פונקציה מרוכבת. f גזירה בנקודה z_0=(x_o,y_0) אם ורק אם הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:

\begin{cases} U_x=V_y \\ U_y=-V_x \end{cases}.

ובמקרה זה מתקיים: f'(x_0+y_0i)=U_x(x_0,y_0)+V_x(x_0,y_0)i=V_y(x_0,y_0)-U_y(x_0,y_0)i.

תרגיל

באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות:

1. f(x+yi)=x+y^3i

2. f(z)=z+Re(z)

3. f(z)=(z-1)(Re(z))^2

4. f(x+yi)=e^x\text{cis}y

פתרון

משפט

פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה.

תרגיל

הוכיחו שאם f=U+Vi גזירה והחלק הממשי של f הוא פונקציה קבועה אז f קבועה.

פתרון

U קבועה ולכן U_x=U_y=0, וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן V_y=U_x=0,V_x=-U_y=0, ולכן גם V קבועה. ולכןf קבועה.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אנליזה_מתקדמת_למורים_תרגול_5&oldid=78715