חדוא 2 - ארז שיינר

88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2

תקציר ההרצאות

פרק 1 - האינטגרל הלא מסויים

• הגדרה: F נקראת פונקציה קדומה של f בקטע A אם לכל נקודה בקטע מתקיים כי [math]\displaystyle{ F'=f }[/math]

• האינטגרל הלא מסויים [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] מסמן פונקציה קדומה של f.

• תהי F קדומה של f, אזי קבוצת כל הקדומות של f שווה ל[math]\displaystyle{ \{F+c|c\in\mathbb{R}\} }[/math]

• אינטגרלים מיידיים ידועים לנו מנוסחאות הגזירה.

שיטות למציאת קדומה

• תהיינה f,g פונקציות בעלות קדומות, אזי:
  • [math]\displaystyle{ \int (cf) = c \int f }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \int (f+g) = \int f + \int g }[/math]

אינטגרציה בחלקים

[math]\displaystyle{ \int f'g = fg - \int fg' }[/math]

פונקציה רציונאלית

• הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים

• פירוק לשברים חלקיים

• חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
  • נסמן [math]\displaystyle{ I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt }[/math]
  • אזי [math]\displaystyle{ I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n }[/math]

כאשר תנאי ההתחלה הוא [math]\displaystyle{ I_1=\arctan(t) }[/math]

הצבות אוניברסאליות

הצבות אוניברסאליות הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של פונקציה רציונאלית אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

• הסבר על הצבות אוניברסאליות

פרק 2 - האינטגרל המסויים

סכומי דרבו ואינטגרל עליון ותחתון

• [math]\displaystyle{ m(b-a)\leq \underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,P)\leq M(b-a) }[/math]

• תהי חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] ותהי העדנה שלה [math]\displaystyle{ R=P\cup \{a\} }[/math]
• [math]\displaystyle{ 0\leq \overline{S}(f,P)-\overline{S}(f,R)\leq \lambda(P)(M-m) }[/math]
• [math]\displaystyle{ 0\leq \underline{S}(f,R)-\underline{S}(f,P)\leq \lambda(P)(M-m) }[/math]

• [math]\displaystyle{ \underline{S}(f,P)\leq \underline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{S}(f,P) }[/math]

• התכנסות סכומי הדרבו העליונים לאינטגרל העליון

• פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו