88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'
תוכן עניינים
המבחן של פרופ' זלצמן
שאלה 1
תהי סדרה , ותהי
קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך:
סגורה
הוכחה
על-מנת להוכיח ש- סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם
היא נקודת הצטברות של
אזי היא גם גבול חלקי של
.
נניח נקודת הצטברות של
, לכן לכל
קיים גבול חלקי הקרוב ל-
עד כדי
, ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.
לכן, עבור קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל-
עד כדי
. לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל
עד כדי
(המרחק בין גבול תת-הסדרה לבין
ועוד מרחק בין איברי תת-הסדרה לגבול תת-הסדרה). נבחר איברים כאלה מתתי-הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק
מ-
ולכן היא ודאי מתכנסת ל-
כפי שרצינו.
שאלה 2
בדוק התכנסות של הטורים הבאים:
א
נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:
ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.
קל לראות ש- מונוטונית באזור
(נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן
והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל-
ולפי משפט לייבניץ הטור כולו מתכנס בתנאי.
ב
קל לראות ש- ולכן הטור מתבדר.
ג
בערך מוחלט זה קטן מ- . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור
שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור מתכנס בהחלט.
שאלה 3
ציטוט משפטים - תשובות במחברת ההרצאה
שאלה 4
זהה וסווג נקודות אי-רציפות:
א
נקודות אי-הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר ו-
. ב-
,
. מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול.
ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ-
גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן נקודת האי-רציפות
הנה ממין שני.
בנקודה אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל-
כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל-
וזו נקודת אי-רציפות סליקה.
ב
נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל- . אזי עבור
מתקיים
ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור
מתקיים
ולכן
הנן נקודות אי-רציפות ממין ראשון (הגבול הוא
מצד אחד ו-
מהצד השני). באופן דומה לכל
טבעי מתקיים ש
הן נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
ג
ב- , ה-
הולך ל-
ולכן
ולכן הגבול כולו הוא
וזו נקודת אי-רציפות סליקה.
ב- הלוג הולך ל-
ולכן מצד אחד
שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן ה-
עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן אלה נקודות אי-רציפות ממין שני.
במקומות בהם הtan לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי-רציפות ממין שני. נקודות אלה הן מהצורה
שאלה 5
האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים?
א
בקטע
הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע ולכן סה"כ הגבולות הם
כלומר סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ב
בכל הממשיים.
רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע
. בקטע הזו
רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ג
בקטע
ניקח שתי סדרות ששואפות ל- , אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת
ועל השניה
, וזה יסתור רציפות במ"ש.
,
שאלה 6
נגזרות
שאלה 7
תהי גזירה בקטע
ותהי נקודה
א
הוכח שאם קיים הגבול אזי מתקיים
.
לפי הגדרה . ברור ש
ומכיון ש-
רציפה אזי גם
. לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.
נגזור את המונה והמכנה לקבל ולכן קיבלנו את מה שרצינו.
ב
מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול
כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה , כאשר אנחנו מגדירים
. ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל-
, נוכיח שהיא גם גזירה ב-
.
.
לכן ערך הנגזרת ב- הוא
. מהו גבול הנגזרת ב
?
הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל. לכן גבולה ב-
לא קיים (
ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.
שאלה 8
תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב- , הוכח/הפרך:
חסומה על כל תת-קטע סגור של
.
הפרכה
למעשה אנו חייבים נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה ,
. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה
. נביט בסדרה השואפת לאפס
עליה מקבלים
ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור
.