אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

מתוך Math-Wiki
הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} }[/math] כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math].

עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).

מצב ראשון [math]\displaystyle{ deg(p)=deg(q)-1 }[/math]

ניתן למצוא קבוע c כך ש [math]\displaystyle{ h=cp-q' }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ deg(h)\lt deg(q)-1 }[/math].

אז רושמים [math]\displaystyle{ \int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} }[/math]

וממשיכים לשלב הבא:

מצב שני [math]\displaystyle{ deg(p)\lt deg(q)-1 }[/math]

  • נפרק את q לגורמים אי פריקים:

[math]\displaystyle{ q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j} }[/math]


  • כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

[math]\displaystyle{ \frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+ \Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+ }[/math]

[math]\displaystyle{ + \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+... }[/math]


  • נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים [math]\displaystyle{ A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j} }[/math].
  • נחשב כל מחובר בנפרד:

אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m} }[/math]

נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=x-a }[/math] על מנת לקבל:


[math]\displaystyle{ I_1=Aln(x-a)+C }[/math]


[math]\displaystyle{ I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C }[/math]

אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m} }[/math] (כאשר המכנה אי פריק)

  • נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m} }[/math]


  • כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m} }[/math]


  • נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:


    • [math]\displaystyle{ G_1=\frac{A}{a}arctan(\frac{x}{a}) +C }[/math]


    • [math]\displaystyle{ G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m + \frac{1}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m} }[/math]


אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m} }[/math] (כאשר המכנה אי פריק)

  • דבר ראשון, בדומה למצב הראשון,נצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A(2x+b) + B}{(x^2+bx+c)^m} }[/math]
  • את החלק [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m} }[/math] פותרים לפי הנוסחא לעיל
  • לחלק הנותר נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=x^2+bx+c }[/math] לקבל אינטגרל פתיר מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{t^m} }[/math]

מצב שלישי [math]\displaystyle{ deg(p)=deg(q) }[/math]

  • קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים [math]\displaystyle{ h=cp-q }[/math] וגם [math]\displaystyle{ deg(h)\lt deg(q) }[/math].


  • נפריד את האינטגרל לשניים [math]\displaystyle{ \int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int{1}+\int\frac{h}{q} }[/math]


  • נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.


מצב רביעי [math]\displaystyle{ deg(p)\gt deg(q) }[/math]

  • נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא [math]\displaystyle{ p(x)=a(x)q(x)+r(x) }[/math] כאשר מתקיים [math]\displaystyle{ deg(r)\lt deg(q) }[/math]


  • מתקיים [math]\displaystyle{ \int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q} }[/math]


  • נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.