מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1
1
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.
לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד .
המקדם של חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב-
וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף
).
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- .
אם נפתח סוגריים נקבל והמקדם של
שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר
או
,
וערכים חיוביים כאשר
.
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל
המקדם של שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון:
נפרק לשלושה ביטויים: ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
: ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה
אין פתרון ממשי)
: מתאפס ב-
. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר
או
: מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.
פתרון:
כאשר . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של
.
השאלה היא מתי מכפלה של גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר
מספר שלם בין 1 ל-
, הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים . בתחום האחרון
כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
זוגי: אם
כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי
זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה
עבור
. אם
זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי
זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
לכן התשובה עבור זוגי היא:
עבור אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
נחלק למקרים: אם נקבל את אי-השוויון
ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם
אם נקבל
וסה"כ הפתרונות הם
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- לכן נתבונן במקרים:
: אי-השוויון הוא
לכן
. התשובה היא
: אי-השוויון הוא
לכן
. התשובה היא
. נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון:
נחלק למקרים:
: אי-השוויון הוא
. נפשט ונקבל
. ביטוי זה חיובי כאשר
או
(בדקו!). לכן הפתרון הוא
: אי-השוויון הוא
. נפשט ונקבל
. הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
נשים לב שלביטוי אין ערך ב- . אם
נקבל
וזה לא יתכן. אם
נקבל
וגם זה לא יתכן.
פתרון: אף לא מקיים את אי-השוויון
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור או
.
: נקבל אי-שוויון
. נפשט ונקבל
והפתרון של זה הוא
. סה"כ:
: נקבל אי-שוויון
ואחרי פישוט:
. הפתרון הוא
או
לכן סה"כ:
.
: נקבל
. נפשט ונקבל
והפתרון הוא
. לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
הביטוי הריבועי מתאפס ב- . נחלק למקרים:
:
או
לכן סה"כ
:
. לכן סה"כ:
:
. לכן סה"כ:
:
. לכן סה"כ:
:
או
. לכן סה"כ:
פתרון: או
2
נגדיר שתי פונקציות
מצא עבור אילו ערכי מתקיימים אי-השוויונות הבאים:
נפריד למקרים:
: במקרה זה אי השוויון הוא
והוא תמיד מתקיים
: אי השוויון הוא
והוא מתקיים עבור
לכן הפתרון הוא
: אי השוויון הוא
לכן הפתרון הוא
ולכן אין פתרון
פתרון:
נפריד למקרים:
: אי השוויון הוא
וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל
: ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון
: אי השוויון הוא
וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום
פתרון:
נשים לב שמתקיים: לכל x:
:
:
:
לכן גם מתקיים לכל x
:
. הפתרון הוא
:
לכן זה פיתרון.
:
. נכון לכל x.
:
. כל התחום הוא פתרון
:
. גם כאן כל התחום הוא פתרון
פתרון:
:
. בגלל שאנחנו בתחום
נקבל שהביטוי בערך המוחלט תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל:
. לאי שוויון זה אין פתרון בתחום
: נקבל
ואין לזה פתרון בתחום
: נציב ונקבל שזה לא פתרון
: נקבל
והפתרון הוא
: נקבל
והפתרון הוא כל התחום
פתרון: או