משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.3.11
מתוך Math-Wiki
את ההוכחה למשפט 11 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.3.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
האינטגרל לפי רימן (המשך)
משפט 12 (המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי)
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית בקטע .
- לכל
נגדיר
. אזי A מוגדרת היטב ורציפה ב-
ולכל
שבה f רציפה A גזירה כך ש-
.
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: נניח ש-f רציפה בכל הקטע
. אם F קדומה ל-f אז
.
הוכחה
- כיוון ש-f אינטגרבילית ב-
משפט 9 נותן שלכל
f אינטגרבילית בקטע
ולכן
מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה:
לכל
. כעת אם
אז
ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה
. ר"ל A גזירה שם. ובכן
ולכן
. נעיר ש-
(כי
פונקציה קבועה). לכן
. מכאן ש-
. נותר להוכיח שכאשר
אגף ימין (ולכן אגף שמאל) שואף ל-0. לצורך זה יהי
נתון. כיוון ש-f רציפה ב-
קיים
כך שאם
אז
. כעת נניח ש-
. אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין
ל-
ולכן כל t בקטע זה מקיים
. נובע שלכל t בקטע
. יוצא שאם
אז
. הדבר אפשרי לכל
, לכן
ז"א
קיים ושווה ל-
.
- נתון ש-f רציפה בכל
. לפי החלק הקודם
, כלומר A קדומה ל-f ב-
. קיים קבוע c כך ש-
לכל
. מכאן ש-
.
מסקנה
אם f רציפה בקטע אז קיימת לה פונקצייה קדומה ב-
.
הוכחה
כיוון ש-f רציפה בקטע כולו מתקיים
קדומה ל-f ב-
.
דוגמאות
-
. זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל
, ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית.
-
כאשר
-
-
-
תרגילים לחידוד
- נגדיר
. נמצא את
: לפי חלק א של משפט 12 מתקיים
.
- נגדיר
. נמצא את
: נגדיר
ולכן
. לפי זה
ולפיכך, ע"פ כלל השרשרת,
.
גרף (1)
הגדרה: עבור רציפה ב-
נגדיר את השטח שמתחת לגרף של f ע"י
. לפי זה, אם
ב-
אז
= מספר שלילי או 0 שהוא "מינוס השטח שמעל הגרף" (גרף (2)). אם f מחליפה סימן (גרף (3)) אז
= השטח מעל ציר ה-x פחות השטח מתחת לצייר ה-x ולכן
= השטח בין הגרף לציר ה-x.
דוגמת חישוב
גרף (4)
כאן ברור שהשטח בין הגרפים הוא , ובנימוק פשוט זה נכון בכל מקרה ש-
ב-
.
למשל, נחשב את השטח שבין הגרפים ו-
בקטע
גרף (5)
בקטע![\left[0,\tfrac\pi4\right]](/images/math/a/d/4/ad443a23a524ee9b06986eb6c71924c7.png)
![\cos(x)\ge\sin(x)](/images/math/8/4/a/84a1d25fe16db1d3ce53c53640a7039d.png)
![\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]](/images/math/5/5/7/5570c0484decdccf0a3970f8cb0633d3.png)
![\cos(x)\le\sin(x)](/images/math/e/d/1/ed1688612e58b2d97ac6fc097e992501.png)
![\begin{align}\int\limits_0^\frac\pi2 |\cos(x)-\sin(x)|\mathrm dx&=\int\limits_0^\frac\pi4 \Big(\cos(x)-\sin(x)\Big)\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 \Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)\mathrm dx\\&=\left([\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4\right)+\left([-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2\right)\\&=\left(\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)\right)+\left(-1-0+\frac\sqrt22+\frac\sqrt22\right)\\&=2\sqrt2-2\end{align}](/images/math/0/5/d/05d97e9286e66c19908e1846480de557.png)