משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11
דוגמאות
-
.
- שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב
. לכן
.
- דרך ב - נחליף את הגבולות במהלך החישוב:
ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3
- שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב
- נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r.
. לכן השטח הוא
. נציב
... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה
היינו צריכים לבחור
כך ש-
, אבל יכולנו לבחור
כי אז
, ועבור
יכולנו לבחור
. אם כן היינו מוצאים
. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-
, מה שנכון רק כאשר
. הטווח של האינטגרציה היה
, שכולל תחומים בהם
. בתחומים אלה צריך לבחור
ולחלק את הקטע
לתחומים שונים לפי הסימן של
.
יישומים של אינטגרציה
- אם בקטע
מתקיים
כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא
.
- נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף
בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור
קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו -
. כעת נניח ש-
רציפה ב-
ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של
,
. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל
מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום
ומינימום
בקטע זה. נסמן ב-
הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים
. יוצא שהנפח בסה"כ הוא
ומתקיים
. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק
ובצד שמאל
. ז"א לכל חלוקה P
. נשאיף
וכיוון ש-f רציפה גם
רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול
.
דוגמאות
- נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r:
.
- נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4)
. לפי זה הנפח הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3
, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
- תהא f מוגדרת ורציפה ב-
ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל
נגדיר חלוקה
של הקטע לקטעים שווים
. כאשר לכל k עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}
. נרשום את הממוצע של f בנקודות החלוקה. הוא . לפי בחירת
, לכל k מתקיים
ונובע:
(כאשר
הוא סכום רימן). נשאיף
ומכיוון שבמקרה כזה
מצאנו שהממוצע של f שואף ל-
. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת: אם
רציפה אז
הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.
- אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-
נעשה חלוקה
של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות
, כאשר לכל k
. קירוב סביר לאורת הגרף נתון ע"י
, כאשר
הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2
. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל
ואפשר להגדיר את L ע"י
. לפי זה L תמיד מוגדר
. דוגמה: נגדיר
. היא רציפה בקטע הסגור
אבל אורך הגרף הוא
. גרף (5). כאשר ראינו ש-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): L(P)=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2} (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k
(ע"פ משפט לגראנז' ישכזה כך ש-
והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה
. היה נתון ש-
רציפה ולכן גם
רציפה וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל
והשערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף
. נוכיח זאת: נגדיר
וכן
ונניח
. יהי
נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת
של
כך ש-
. אם Q עידון של
אז
ולכן
. כעת נתון ש-
רציפה ולכן
אינטגרבילית ב-
. לכן קיים
כך שאם P חלוקה כלשהי של
כך ש-
ואם S סכום רימן כלשהו הבנו על P
. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של
כך ש-
. כבר למדנו ש-
הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק
ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-
לכן הם שווים.
![]()