מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12
תוכן עניינים
מבוא
משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי לבין משתנה תלוי
. בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה.
הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא (
פונקציה ב־
משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא
.
הגדרות: הסדר של מד״ר הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. המעלה היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. נדגים:
-
: הסדר הוא 1 והמעלה – 1.
-
: הסדר הוא 1 והמעלה – 2.
-
: הסדר הוא 2 והמעלה – 1.
-
: הסדר הוא 3 והמעלה – 1.
קיימות מד״ר שאנו כבר יודעים לפתור. למשל:
- אם
אזי
.
-
נשים לב שיש אינסוף פתרונות.
לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן נקבל
, והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציית השגיאה
שעבורה
.
הגדרה: צורה נורמלית של מד״ר היא כאשר
סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה,
.
הערה: מסמן שיוויון זהותי, כלומר שיוויון שמתקיים בכל נקודה. אם
אז בפרט
, ולכן לא תמיד נקפיד לסמן ב־
שיוויון זהותי.
תהי פונקציה לינארית במשתנים
. אזי המד״ר המתאימה
תקרא לינארית.
, למשל. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך:
. אם
אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגנית". דוגמה:
.
הגדרה: פתרון של מד״ר הוא פונקציה כך שבהצבת
המד״ר הופכת לזהות
. דוגמה:
היא פתרון של
מפני שבהצבה
נקבל
, מה שמתקיים תמיד.
![\varphi(x,c_1,\dots,c_n)](/images/math/4/a/7/4a7f262489d2bb77a39f5fd188a847ec.png)
![n](/images/math/7/b/8/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png)
![n](/images/math/7/b/8/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png)
![x](/images/math/9/d/d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}](/images/math/c/b/2/cb2fa9ed6d37e92d45436ac967d425aa.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
מד״ר מסדר ראשון
הגדרה: מד״ר מסדר ראשון היא מד״ר מהצורה![F(x,y,y')=0](/images/math/3/e/1/3e154a17e2a2536c36297d4d42864ee8.png)
![y'=f(x,y)](/images/math/0/2/d/02dd3f4c7c9b4b389221cd052d2591ad.png)
מד״ר 2 שקולה ל־ ומד״ר 3 שקולה ל־
. אלה הצורות הדיפרנציאליות.
בעיית קושי
בכל הנוגע למד״ר מסדר ראשון, הבעיה היא למצוא פתרון למד״ר המקיים תנאי התחלה
.
פתרון רגולרי וסינגולרי
הגדרות: בהנתן פתרון כללי של מד״ר , פתרון המתקבל ע״י הצבת
מסוים נקרא פתרון פרטי, רגולרי או רגיל. פתרון שאינו מתקבל מ־
מסוים נקרא פתרון סינגולרי או מיוחד. דוגמה: נתונה המד״ר
. הפתרון הרגולרי הכללי הוא
לכל
, כגון
.
פתרון סינגולרי.
משפט הקיום והיחידות
נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט (את הגרסה המדויקת ואת ההוכחה נציג בהמשך). בהינתן מד״ר בצורה נורמלית . אם הפונקציה
מקיימת את תנאי ליפשיץ במשתנה
בסביבה מסוימת של הנקודה
אזי קיימת סביבה שלה שבה למד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־
(כלומר מקיים
).
תזכורת: מקיימת את תנאי ליפשיץ אם
.
מד״ר עם משתנים מופרדים
דוגמה
נתון . אזי
נניח ![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
נציב ![]() |
![]() |
![]() |
||||
נציב ![]() |
![]() |
![]() |
^ הערה 1: הנחנו ש־ וחילקנו ב־
, אבל מה אם יש נקודות בודדות שבהן
? מקרה כזה אינו משנה לנו כיוון ש־
גזירה ובפרט רציפה, ולכן קיימים קטעים שבהם
. אנו יכולים לפתור את המד״ר בקטעים אלה ואז, הודות לרציפות, הפתרון ייתן את התוצאה הנכונה גם בנקודות שבהן
.
^ הערה 2: הגדרנו , אך נשים לב ש־
מוכרח להיות קבוע. במקרה זה הדרישה הזאת מתקיימת:
לכל
ומכאן שלא קיימת נקודה שבה
. לפיכך, מפני ש־
רציפה,
אינה מחליפה סימן באף קטע, כלומר
קבוע. כך נקבל שגם
קבוע, כדרוש.
עתה נתייחס למקרה שבו . הצבה במד״ר תראה שזה פתרון ולבסוף הפתרון הכללי הוא
.
נוכל להכליל את הדוגמה למקרה כללי: אם אזי
.
צורה כללית
הצורה הכללית של מד״ר מסדר ראשון עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: . אם
עבור
כלשהו אזי
פותר את המד״ר. אם
עבור
כלשהו אזי
פתרון (במובן כלשהו – רגולרי או סינגולרי). אם
נחלק בהם ונקבל
.
דוגמה
. נמיר זאת לכתיב דיפרנציאלי ונקבל
. הפתרונות הם
או
או
. במקרה האחרון
. לא נצליח לחלץ את
, אבל נוכל לחלץ את
:
(כאשר
).
מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים
נתונה מד״ר מהצורה![y'=f(ax+by)](/images/math/4/2/4/424c68c5673d6a85b58da851fb474b45.png)
![z=ax+by](/images/math/d/e/9/de97fa3da7544569ec519515ad96789c.png)
![z'=a+by'](/images/math/9/a/c/9ac334dc621448a7dabc4047f26a583c.png)
![\begin{align}&z'=a+bf(z)\\\implies&\frac{z'}{bf(z)+a}=1\\\implies&\underbrace{\int\frac{\mathrm dz}{bf(z)+a}}_{g(z)}=x+c\end{align}](/images/math/1/5/2/152c8009b52313fb3c49960813fc6fd6.png)
לכן ואם
הפיכה אזי
.
דוגמה
. אזי עבור
נקבל
![]() |
||||||
נניח ![]() |
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
הצבת נותנת
ולכן
פתרון.
הומוגניות
הגדרה: פונקציה נקראת הומוגנית מסדר
אם לכל
מתקיים
. למשל:
-
הומוגנית מסדר 0 כי
.
-
הומוגנית מסדר 2 כי
.
משפט
פונקציה ניתנת לכתיבה בצורה
לכל
אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.
הוכחה
:
.
: נתון
. אם
נבחר
ולכן
. במקרה
נציב
, ואז
.
מד״ר הומוגנית
הגדרה: אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה אזי היא נקראת הומוגנית.
ניתן לפתור כל מד״ר הומוגנית באמצאות ההצבה : מתקיים
ולכן אם
אז
![\begin{align}&g(z)-z=xz'\\\implies&\int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}=\int\frac{\mathrm dx}x\end{align}](/images/math/8/f/e/8fe1d30e5ef667c6b0ad46c28659adc3.png)
עבור המוגדרת כאגף שמאל,
. במידה ו־
הפיכה
.
תרגיל
פתרו עם תנאי ההתחלה
.
פתרון
בנקודות![x\ne0](/images/math/4/3/c/43cd1f01fc40ff198193084a874be8ab.png)
![y'=1+\frac yx=1+z](/images/math/5/8/9/5891673ddb530cb5f1a69af3b3e1a3f8.png)
![\begin{align}&y=zx\\\implies&y'=(zx)'=z'x+z\\\implies&z'x=z-(1+z)=1\\\implies&\int z'\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}x\\\implies&z=\ln|x|+c_1\\\implies&y=xz=x(\ln|x|+c_1)\end{align}](/images/math/7/8/2/782902c40bac796b888c87a7fc32229b.png)
![c={\mathrm e}^{c_1}](/images/math/0/c/0/0c097aa4b9ee4be26c749001bb4c8c55.png)
![y=x\ln|cx|,\quad c>0](/images/math/d/4/9/d498ebd76ff8b75d246fe023d6f928df.png)
![8=y(3)=3\ln|c\cdot3|](/images/math/0/d/c/0dcbfc3c349d2cbd6b8110e74370e701.png)
![c=\frac{\mathrm e^{8/3}}3](/images/math/9/d/7/9d76a27136c236e4bd45c6080b23cf15.png)
![y=x\ln\left|\frac{\mathrm e^{8/3}}3x\right|](/images/math/9/2/f/92f6d73a779bcaf57e4d128086fc1f94.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)