פתרון לתרגיל 1.8 בחוברת לינארית
תרגיל 1.8
יהיה [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math]. יהיו וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...v_n \in V }[/math]. נגדיר את מטריצת גרהם [math]\displaystyle{ A }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ a_{ij}=\lt v_i,v_j\gt }[/math]. הוכח:
[math]\displaystyle{ v_1,...v_n\iff |A|=0 }[/math] ת"ל
פתרון
נסתכל על צירוף לינארי כללי של עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math]:
[math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}\alpha_j C_j(A) =\sum_{j=1}^{n}\alpha_j \begin{bmatrix} \lt v_1,v_j\gt \\ \vdots \\ \lt v_n,v_j\gt \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sum_{j=1}^{n}\alpha_j\lt v_1,v_j\gt \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^{n}\alpha_j\lt v_n,v_j\gt \end{bmatrix}= }[/math]
זה שווה עפ"י כמו לינאריות במשתנה שני ל
[math]\displaystyle{ =\begin{bmatrix} \lt v_1,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt \\ \vdots \\ \lt v_n,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt \end{bmatrix} }[/math]
זה שווה לאפס אם [math]\displaystyle{ \forall i : \lt v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =0 }[/math]
טענת עזר (נוכיח אותה מיד): [math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j =0 \iff \forall i : \lt v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =0 }[/math]
לכן הגענו למסקנה ש
[math]\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}\alpha_j C_j(A)=0 \iff \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0 }[/math]
לכן
יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של עמודות המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...v_n }[/math].
נובע מיידית ש [math]\displaystyle{ |A|=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \iff }[/math] עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math] ת"ל [math]\displaystyle{ \iff }[/math] הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...v_n }[/math] ת"ל
מ.ש.ל
הוכחת טענת העזר
[math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math]
נניח
[math]\displaystyle{ \forall i : \lt v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =0 }[/math]
אזי גם
[math]\displaystyle{ \forall i : \overline{\alpha_i}\lt v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =0 }[/math]
ולכן גם הסכום שלהם שווה אפס
[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i}\lt v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =0 }[/math]
ולפי לינאריות במשתנה ראשון זה שווה
[math]\displaystyle{ \lt \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =0 }[/math]
אבל הסכום בשני הצדדים הוא אותו סכום בדיוק! נסמן [math]\displaystyle{ u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lt u,u\gt =0 }[/math] וזה נכון רק אם [math]\displaystyle{ u=0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
בכיוון ההפוך, נניח [math]\displaystyle{ u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0 }[/math] לכן ברור ש[math]\displaystyle{ \lt w,u\gt =\lt w,0\gt =0 }[/math] לכל וקטור [math]\displaystyle{ w }[/math], ולכן
[math]\displaystyle{ \forall i : \lt v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j\gt =\lt v_i,u=0\gt }[/math]