קוד:משפט ערך הממוצע של לגרנז'

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־23:19, 28 באוגוסט 2014 מאת Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן " \begin{theorem} תהי $f\in C[a,b]\cap D(a,b) $ אזי קיימת $c\in (a,b) $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . באופן פיזיקלי, כבר א...")
(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)

\begin{theorem} תהי $f\in C[a,b]\cap D(a,b) $ אזי קיימת $c\in (a,b) $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . באופן פיזיקלי, כבר אמרנו שהנגזרת של פונקציית המיקום לפי הזמן היא המהירות, ולכן המשפט אומר שבכל דרך "חלקה" שעושים (בלי עצירות פתאומיות או שינוי מהירות פתאומי) תמיד יש רגע בו המהירות שווה למהירות הממוצעת במהלך כל הנסיעה. באופן גיאומטרי, המשפט אומר שאם מעבירים קו על גרף הפונקציה בין נק' ההתחלה והסוף אז קיימת נקודה באמצע שהמשיק לפונקציה בנקודה מקביל לקו הזה. \end{theorem}

\begin{proof} נגדיר $F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a) $ ונראה כי $F(a)=F(b)=f(a) $ ולכן מתקיים משפט רול וקיימת $c$ כך ש-

$F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \Rightarrow f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ \end{proof}

מסקנה:

\begin{theorem} אם $f'(x)=0 $ לכל $x\in (a,b) $ אזי $f(x)=const $ (קבועה) \end{theorem}

\begin{proof} נניח בשלילה ש-$f$ לא קבועה ואז $\exists x_1,x_2 : f(x_1)\neq f(x_2) $ (בה"כ $x_1<x_2 $ ) , ולפי משפט ערך הממוצע של לגרנז' קיים $x_1<c<x_2 $ כך ש- $f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\neq 0 $ משום שהמונה שונה מ-$0$, אבל זה בסתירה לכך שהנגזרת זהותית $0$! \end{proof}