88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11
דטרמיננטות
הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית היא סקלר
המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.
חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות
- הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1
היא הערך היחיד במטריצה
.
- הדטרמיננטה של מטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}
היא.
למשל: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 .
חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)
סימון עבור מטריצה נסמן ב
את המטריצה מגודל
המתקבלת מ
ע"י מחיקת השורה ה
והעמודה ה
. זה נקרא המינור ה
של המטריצה.
דוגמא: עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}
למשל
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}
אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה ה:
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה ה:
לדוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}
נפתח לפי השורה הראשונה:
נפתח גם לפי העמודה השנייה:
תכונות של הדטרמיננטה
1. כפליות .
2. בפרט .
3. .
4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).
5. אם הפיכה אז
.
6. הפיכה אם"ם
.
למשל המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}
איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.
שימו לב שאין בהכרח קשר בין לבין
. (דוגמא?)
תרגיל
נתונות מטריצות כך ש
. חשבו את
.
פתרון