משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11
תוכן עניינים
מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)
- שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של
:
, כאשר
. חלוקת הקטע
משרה חלוקת הגרף
. נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל
יש רוחב h ושני גבהים
. לכן שטח אותו טרפז הוא
, והקירוב לאינטגרל הוא
נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g
וכן
הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים
ונעריך את הטעות בו, השווה ל-
. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.
כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב-
לסיכום, עד כה הראינו כיונסמן
. נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה
:
, כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.
ו-
. לכן השארית
היא
, ומכיוון ש-P לינארית
, כלומר השארית היא
. נחשב:
וכןבסה"כ הטעות בקטע
חסומה ע"י
. יש n קטעים כאלה, לכן
.
- כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את
בעזרת חלוקה שווה
, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא
. למעשה, סימפסון מקרב
ע"י
לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי
אזי
.
הוכחה
נסמןולכן
. ב-
נציב
ונקבל
.
- נניח ש-f רציפה בסביבה של
וגזירה בסביבה מנוקבת של
. עוד נניח שקיים
. אזי
קיים ושווה ל-L.
הוכחה
לפי ההגדרה, אם f גזירה ב-
אזי
, ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל-
עבור
כלשהו בין
ל-
. לכן, כאשר
גם
ונקבל
.
נחזור לכלל סימפסון.
שלב א
נניח ש-
ו-
פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש-
(כאשר לכל f אינטגרבילית ב-
הגדרנו
).
הוכחה
לכל פולינום ממעלה 3 (או פחות)מתקיים
שלב ב
נניח ש-f בעלת 4 נגזרות רציפות בקטעונסמן
. נעריך את הטעות:
. לצורך זה נשתמש בפיתוח טיילור של f סביב 0 מסדר 3,
. לכן
. כזכור
. נעריך:
מכל זה, יוצא ש:
.
שלב ג
נוכיח כי לכל k שעבורו
מתקיים
הוכחה
באינטגרלנציב
כדי לקבל
. ניצור פונקציה
ונבנה
ב-
כמו שעשינו בשלב ב:
כמו כן, מכיוון ש-
מתקיים
, ומכל זה נובע
.
סיכום
מצאנו שעל כל תת קטע
הטעות בקירוב סימפסון חסומה ע"י
. יש
קטעים כאלה, ומכיוון ש-
הטעות חסומה ע"י
.
הערה: ניתן להוכיח כי הטעות חסומה גם ע"י
.
- נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי