משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.5.11
את רשימת המשפטים לאינטגרלים לא אמיתיים מסוג II לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-3.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
אינטגרל לא אמיתי, סוג II (המשך)
דוגמה
- מתכנס או מתבדר?
נסמן . לפונקציה יש נקודת אי רציפות סליקה באפס כי
. כמו כן יש סינגולריות רק ב-
ונרשום:
.
f אי-שלילית בקטע . לכן נגדיר
ונחשב
ולכן
מתכנס אם
מתכנס, מה שאכן מתקיים:
. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות
(השוואה עם
). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס.
נושא שני:
סדרות וטורים של פונקציות
הגדרה: תהי סדרת פונקציות המוגדרות כולן בקטע
. לכל
נקבל סדרת מספרים
ואפשר לדון ב-
. נגדיר את "תחום ההתכנסות"
של הסדרה כ-
. כמו כן מוגדרת "פונקציה גבולית"
כך ש-
.
יש 2 נקודות מבט בהן ניתן להסתכל על סדרת פונקציות:
- סדרת פונקציות
היא פשוט אינסוף סדרות של מספרים
, עם
לכל סדרה. זהו מבט נקודתי.
- סדרת פונקציות היא, כשמה, סדרה של פונקציות ששואפות לפונקציה חדשה - הפונקציה הגבולית. זהו מבט פונקציונלי.
הגדרה: נניח שיש לנו סדרת פונקציות על I. אפשר לבנות טור
כאשר התכנסות הטור נקבעת עפ"י הסכומים החלקיים
וה-
סדרת פונקציות על I. תחום ההתכנסות ל-
, לפי ההגדרה,
. כמו כן הפונקציה הגבולית של הסדרה היא
.
דוגמאות
-
. זאת סדרת פונקציות על
ומתקיים
. לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע
. נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב-
אעפ"י שכל ה-
רציפות בנקודה זו.
- נחשב את הפונקציה הגבולית עבור
. עבור
מתקיים
. עבור
נקבל
. לכן הפונקציה הגבולית היא
.
- הטור הנדסי
שווה ל-
. תחום ההתכנסות הוא
.
- נבדוק למה שווה הטור
עבור
:
גישה אחרת (מבט פונקציונלי): נגדיר. אם יש צדק בעולם
ולכן
, אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-
), ועוד לא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה נכון).
- נגדיר
. לכן הפונקציה הגבולית היא
. אם יש צדק בעולם אז
, אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט
ולכן
לא קיים לאף
.
- נתבונן בטור
ונוכיח כי
. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור:
וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-
עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים
. כדי להראות ש-
נותר להוכיח ש-
. ובכן נקח
כרצונינו ונשים לב כי
וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי.עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית:
ולכן
. נגדיר
ולכן
ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן
ונובע ש-
. מהגדרת S נובע כי
ז"א
, ומכאן נובע ש-
ובפרט
. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).
טענה: e אינו רציונלי.
הוכחה: נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן עבור
. לכן
, אבל
, כלומר
הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה.
הגדרה: תהי סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל
קיים הגבול
. ניתן שתי הגדרות שקולות לשאיפה של
ל-f במידה שווה ב-I:
- לכל
קיים
כך שאם
אז
לכל
.
-
.