88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1
שיעור ראשון
שדות
הגדרה
קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור [math]\displaystyle{ (\mathbb{F},\cdot,+) }[/math] נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות- [math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
- קומוטטיביות/חילופיות- [math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a }[/math]
- אסוציאטיביות- [math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c) }[/math]
- קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a }[/math]. בנוסף מתקיים ש[math]\displaystyle{ 0\neq 1 }[/math]
- קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו [math]\displaystyle{ (-a) }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a+(-a)=0 }[/math]. לצורך קיצור הכתיבה נסמן [math]\displaystyle{ a+(-a)=a-a }[/math] (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
- קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] קיים איבר שנסמנו [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1} = 1 }[/math]. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה [math]\displaystyle{ a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b} }[/math]
- דיסטריביוטיביות/פילוג- [math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c }[/math]. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור
תרגיל 1.3 סעיף ג'
יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0 }[/math], כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.
פתרון
ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות.
לפי תכונה (4) מתקיים ש [math]\displaystyle{ 0+0=0 }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a }[/math]
לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש[math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a }[/math] (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))
לפי תכונה (5) לאיבר [math]\displaystyle{ 0\cdot a \in\mathbb{F} }[/math] קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a)) }[/math]
לפי תכונה (3) ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a))) }[/math]
עוד לפי תכונה (5) יחד עם תכונה (4) מתקיים ש[math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0 = 0\cdot a }[/math] בדיוק כפי שנדרשנו לגזור.
תרגיל 1.3 סעיף ו'
יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a }[/math]. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)
פתרון
לכל איבר a בשדה:
מתכונה (5) [math]\displaystyle{ a+(-a)=0 }[/math]
כמו כן, מתכונה (5) [math]\displaystyle{ (-a)+(-(-a))=0 }[/math]
נשווה את שתי ההצגות השונות של אפס [math]\displaystyle{ a+(-a)=(-a)+(-(-a)) }[/math]
נוסיף לשני האגפים את אותו האיבר [math]\displaystyle{ (a+(-a))+a=((-a)+(-(-a)))+a }[/math]
לפי תכונות (3), (2) ו(5) נקבל [math]\displaystyle{ a=-(-a) }[/math] כפי שרצינו.
תרגיל 1.3 סעיף ז'
יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:(-1)\cdot a=-a }[/math]. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)
פתרון
מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, [math]\displaystyle{ 0=0\cdot a = (1+(-1))\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a }[/math]
לפי תכונה (4) קיבלנו [math]\displaystyle{ 0=a+(-1)\cdot a }[/math]
נוסיף לשני האגפים את הנגדי של a ונקבל [math]\displaystyle{ -a=(-1)\cdot a }[/math] כפי שרצינו.
תרגיל 2.3 סעיף א'
יש להוכיח שקבוצת הטבעיים [math]\displaystyle{ \mathbb{N}=\{1,2,3,....\} }[/math] אינה שדה.
פתרון
אין איבר נייטרלי לחיבור: [math]\displaystyle{ \forall n,k\in\mathbb{N}:n+k\gt n }[/math] ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים [math]\displaystyle{ n+0=n }[/math].
תרגיל 2.3 סעיף ג'
יש להוכיח ש[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk)
דעו ש[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] הינו קבוצה מהצורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\} }[/math] יחד עם פעולות החיבור והכפל הרגילות מודולו n.
פתרון
לפי הנתונים קיימים [math]\displaystyle{ k,m\lt n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ mk=n }[/math]. לפיכך, לפי ההגדרה,
[math]\displaystyle{ \overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0} }[/math].
לו היה זה שדה, היו קיימים איברים הופכיים (שכן k,m mod n שונה מאפס) בהם היה ניתן לכפול והיינו מקבלים:
[math]\displaystyle{ \overline{k}^{-1}\overline{m}^{-1}\cdot 0 = 1 }[/math]
ולכן 0=1 בסתירה לתכונות השדה.
תרגיל 2.6
הסבר מדוע [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math] אינו תת שדה של [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]
פתרון
תת שדה הינו תת קבוצה של איברים, תחת אותן פעולות כמו בשדה. לכן [math]\displaystyle{ (p-1)+1 = p \neq 0 }[/math] ולכן אין סגירות לחיבור וזה אינו תת שדה.
מרוכבים
נגדיר מרוכבים, נראה שרוב תכונות השדה הן טריוויאליות פרט לקיום ההופכי וגם זה ניתן להוכחה.
תרגיל 3.2
אם נשנה את פעולת כפל המרוכבים לפעולה הבאה: [math]\displaystyle{ (a+bi)(c+di)=ac+bdi }[/math], האם קבוצת המרוכבים תשאר שדה?
פתרון
לא. ניקח [math]\displaystyle{ (0+i)\cdot(1+0\cdot i)=0 }[/math] כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. בדומה לתרגיל קודם, אם נכפול בהופכיים שלהם נקבל 1=0 בסתירה.
תרגיל 3.4
הצג את הביטוי הבא בצורה [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] וציין מהם [math]\displaystyle{ Re(z),Im(z),\overline{z},|z| }[/math]. הביטוי הינו: [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i} }[/math]
פתרון
נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה [math]\displaystyle{ \frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} }[/math].
נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1} }[/math] וכעת רשמנו [math]\displaystyle{ (5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}] }[/math]
לפיכך נקבל [math]\displaystyle{ z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i }[/math]
[math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13} }[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i }[/math]
תכונות של מרוכבים
- [math]\displaystyle{ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math]
משפט דמואבר
ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה [math]\displaystyle{ z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta) }[/math]. משפט דמואבר אומר ש [math]\displaystyle{ (rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta) }[/math]
תרגיל 3.8 א'
חשב את [math]\displaystyle{ (1+\sqrt{3}i)^{2011} }[/math]
פתרון
דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית [math]\displaystyle{ r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2 }[/math]. [math]\displaystyle{ cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \theta = \frac{\pi}{3} }[/math]
ביחד [math]\displaystyle{ z=2cis\frac{\pi}{3} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3} }[/math] מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל
[math]\displaystyle{ z^{2011}cis(335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=z^{2011}cis\frac{\pi}{3} }[/math]
מערכות משוואות לינאריות
מערכות משוואות לינאריות בn משתנים עם m משוואות הינה מערכת מהצורה
[math]\displaystyle{ a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=a_{n+1} }[/math]
[math]\displaystyle{ b_1x_1+b_2x_2+...+b_nx_n=b_{n+1} }[/math]
...
(סה"כ m משוואות)
ניתן להציג כל מערכת כזו באמצעות טבלת מספרים הנקראת מטריצה. לדוגמא:
[math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x+3y=5\\ y-z=2\\ x+2y+z=4 \end{matrix}\right. }[/math]
את המערכת הנ"ל נייצג באמצעות המטריצה
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & |5 \\ 0 & 1 & -1 & |2 \\ 1 & 2 & 1 & |4 \end{pmatrix} }[/math]
ניתן להבחין במספר פעולות שלא ישנו את פתרונות מערכת המשוואות:
- כפל שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס (שקול לכפל שורה במטריצה במספר שונה מאפס)
- חיבור שני אגפי משוואה אחת כפול קבוע, לשני אגפי משוואה שנייה (שקול לחיבור שורה אחת כפול קבוע במטריצה לשורה אחרת)
- החלפת סדר המשוואות (שקול להחלפת סדר השורות במטריצה)
דירוג גאוס
איבר מוביל/פותח/ציר הינו האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס (משמאל לימין). מטריצה נקראת מדורגת אם מתחת לכל איבר מוביל שלה יש אפסים בלבד וכל איבר מוביל נמצא מימין לאיברים המובילים הקודמים. מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם היא מדורגת, ובנוסף יש אפסים מעל לכל איבר מוביל והאיברים המובילים חייבים להיות שווים למספר אחד.
הערה: לכל מטריצה קיימת צורה קנונית יחידה.
כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה (בפרט, נדרג את המטריצה לצורתה הקנונית). תהליך זה נקרא אלגוריתם לדירוג גאוס.
תרגיל 1.5 סעיף ב'
פתור את המערכת הבאה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11} }[/math].
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 5 & 3 & 3 & |0 \\ 7 & 3 & 7 & |0 \\ 7 & 9 & 0 & |3 \end{pmatrix} }[/math]
פתרון
נכפול את השורה הראשונה ב9 ואת השנייה והשלישית ב8. זכרו שכל הפעולות הן מודולו 11:
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 & |0 \\ 1 & 2 & 1 & |0 \\ 1 & 6 & 0 & |2 \end{pmatrix} }[/math]
נחסר את השורה הראשונה מן השורות השנייה והשלישית.
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 8 & 7 & |0 \\ 0 & 1 & 6 & |2 \end{pmatrix} }[/math]
נכפול את השורה השנייה ב7
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 6 & |2 \end{pmatrix} }[/math]
נחסר את השורה השנייה מהשלישית לקבל
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 5 & |0 \\ 0 & 0 & 1 & |2 \end{pmatrix} }[/math]
ולכן הפיתרון הינו: [math]\displaystyle{ z=2, y=-10=1, x=-10-5=7 }[/math]
מספר פתרונות
נביט בצורה המדורגת של המטריצה. אנו רואים שכל משתנה אשר בעמודה שלו יש איבר מוביל תלוי בצורה יחידה במשתנים האחרים, משתנה כזה נקרא משתנה מוביל. לעומת זאת, משתנה אשר בעמודה שלו אין איבר מוביל יכול לקבל כל ערך מהשדה, משתנה כזה נקרא משתנה חופשי. אם כן, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים. כאשר השדה אינו סופי יש אינסוף פתרונות, וכאשר השדה הוא סופי ניתן לחשב את מספר הפתרונות במדוייק לפי נוסחא זו.
תרגיל
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a,t יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי.
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & |1 \\ a & a^2 & 1 & |2+a \\ a & 3a & 1 & |2-t \end{pmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ R_3:R_3-R2 }[/math]
[math]\displaystyle{ R_2:R_2-aR_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 0 & 1-a & |2 \\
0 & 3a-a^2 & 0 & |-t-a
\end{pmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ R_2\leftrightarrow -R_3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & a(a-3) & 0 & |a+t \\
0 & 0 & 1-a & |2
\end{pmatrix} }[/math]
כעת נניח [math]\displaystyle{ a\neq 0,1,3 }[/math]. נבצע פעולות שחוקיות רק תחת ההנחה הזו, ולאחר מכן לחזור לנקודה הזו בדיוק ונפתור את המקרים [math]\displaystyle{ a=0,1,3 }[/math] בצורה חוקית.
[math]\displaystyle{ R_2:\frac{R_2}{a(a-3)} }[/math]
[math]\displaystyle{ R_3:\frac{R_3}{1-a} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}
1 & a & 1 & |1 \\
0 & 1 & 0 & |\frac{a+t}{a(a-3)} \\
0 & 0 & 1 & |\frac{2}{1-a}
\end{pmatrix} }[/math]
במקרה זה אין משתנים חופשיים ויש פתרון יחיד.
נחזור למקרים האחרים:
- נניח a=0 ונציב את הפרמטר הזו בנקודה בה עצרנו. נקבל:
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & |t \\ 0 & 0 & 1 & |2 \end{pmatrix} }[/math]
אנו מקבלים משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ 0=t }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ t\neq 0 }[/math] זו סתירה ולכן אין אף פתרון שיקיים את כל משוואות המערכת (כי משוואה זו לעולם לא תתקיים).
- אם t=0 מקבלים משתנה חופשי, ואינסוף פתרונות: נציב במקום המשתנה החופשי פרמטר s ונקבל: [math]\displaystyle{ y=s,z=2,x=1-2 }[/math] ולכן סה"כ הפתרון הכללי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ (-1,s,2) }[/math]
- נניח a=1:
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & -2 & 0 & |1+t \\ 0 & 0 & 0 & |2 \end{pmatrix} }[/math]
השורה האחרונה הינה שורת סתירה ולכן אין פתרונות במצב זה.
- נניח a=3:
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & |3+t \\ 0 & 0 & -2 & |2 \end{pmatrix} }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ t\neq -3 }[/math] יש שורת סתירה ואין פתרון למערכת
- אם t=3 הפתרון הכללי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ (2-3s,s,-1) }[/math]