88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

יחסי סדר

הגדרה: יחס R על A נקרא אנטי-סימטרי אם מתקיים \forall x,y\in A:[(x,y)\in R]\and[(y,x)\in R] \rightarrow (x=y)

כלומר, אם x\neq y אז לא יכול להיות שמתקיים היחס בין x לבין y וגם היחס בין y לx.

הגדרה: יחס R על A נקרא יחס סדר חלקי אם R רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי

דוגמאות ליחסי סדר חלקי:

  • היחס 'קטן-שווה' על המספרים
  • היחס 'מוכל-שווה' על הקבוצות

הגדרה: דיאגרמת הסה Hassse

הגדרות. יהיו A קבוצה וR יחס סדר חלקי על הקבוצה:

  • איבר x\in A נקרא מינמלי ביחס לR אם \forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x. כלומר, אין איבר 'קטן' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
  • איבר x\in A נקרא מקסימלי ביחס לR אם \forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x. כלומר, אין איבר 'גדול' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
  • איבר x\in A נקרא מינימום ביחס לR אם \forall y\in A:(x,y)\in R. כלומר, x 'קטן' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה)
  • איבר x\in A נקרא מקסימום ביחס לR אם \forall y\in A:(y,x)\in R. כלומר, x 'גדול' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה B תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של B)

הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר מינימום הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר לגבי המקסימום.


הגדרה: יהי R יחס על A, אזי היחס ההופכי מוגדר להיות R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)\in R\}

תרגיל.

הוכח שאם R יחס סדר חלקי, גם ההופכי שלו יחס סדר חלקי

פתרון.

  • רפלקסיביות: לכל איבר a מתקיים (a,a)\in R ולכן (a,a)\in R^{-1}
  • טרנזיטיביות: נניח (x,y),(y,z)\in R^{-1} לכן מתקיים (y,x),(z,y)\in R לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים (z,x)\in R ולכן (x,z)\in R^{-1}.
  • אנטי-סימטריות: אם x ביחס לy וגם y ביחס לx הדבר נכון באופן זהה לR ולהופכי שלו, ולכן x=y.

הגדרות. יהיו A קבוצה, B קבוצה המוכלת בה וR יחס סדר חלקי:

  • חסם מלעיל של B הוא איבר x\in A כך שמתקיים \forall y\in B:(y,x)\in R
  • חסם מלרע של B הוא איבר x\in A כך שמתקיים \forall y\in B:(x,y)\in R
  • החסם העליון (סופרמום) של B הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן sup(B)
  • החסם התחתון (אינפימום) של B הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן inf(B)


דוגמא.

נביט בקבוצה A=\{1,2,3,4,5\} ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}

(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)