88-101 חשיבה מתמטית קיץ תשעא/תרגילים/פתרון 1

הצרנות

• הצרן את הטענות הבאות (מותר לכם להשתמש בפרדיקטים סבירים, בתנאי שתגדירו אותם):
  • לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.
  • אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד ($P(1)\equiv T$) וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.
  • x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).
  • כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.
  • קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)

קבוצות

הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A וB הוא קבוצת האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. החיתוך הוא קבוצת האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות.

• הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
• הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
• הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
• הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB

הגדרה: קבוצה A מוכלת בקבוצה B אם בB נמצאים כל האיברים מA (למשל הטבעיים מוכלים בשלמים $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}$, והשלמים מוכלים בממשיים $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}$).

• הצרן תנאי השקול לכך ש-C מוכלת בחיתוך של A וB
• הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB

(מותר לכם להשתמש בכמתים באופן הבא $\forall a\in A, \exists a\in A$)

שקילות

הגדרה: טענות $A_1,A_2,...,A_n$ שקולות אם ((כולן אמיתיות יחד) או (כולן שקריות יחד)).

• הוכח שמספיק להוכיח את הטענות הבאות על מנת להוכיח ש$A_1,A_2,...,A_n$ שקולות:

$A_1\rightarrow A_2$,

$A_2\rightarrow A_3$,

$\vdots$

$A_{n-1}\rightarrow A_n$,

$A_n\rightarrow A_1$

דרכי הוכחה

הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:

• $(A\rightarrow B) \leftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)$
• $A \leftrightarrow (\neg A \rightarrow F)$

(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.)