פתרון משוואה ממעלה 3
מתוך Math-Wiki
הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.
הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.
לפני שמתחילים
בהינתן משוואה ניתן להציב
. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה
עבור מספרים
כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-
כי
הוא פיתרון אם ורק אם
הוא פיתרון של המשוואה ב-
.
לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה .
הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם או
), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.
שיטה ראשונה (טרטליה)
נחפש כך שיתקיים
ו-
.
טענה: במצב זה, הוא שורש של המשוואה.
הוכחה: נציב ונבדוק:
מש"ל.