ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)
הערה:
בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, [math]\displaystyle{ V }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], וכן [math]\displaystyle{ dim V=n }[/math].
בנוסף, [math]\displaystyle{ A\in M_n (\mathbb{F}) }[/math].
הגדרה:
העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] (ממרחב לעצמו) תיקרא אופרטור לינארי.
הגדרה:
תהי [math]\displaystyle{ A\in M_n (\mathbb{F}) }[/math]. אומרים ש-[math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] הוא ערך עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם קיים וקטור [math]\displaystyle{ 0\neq v\in\mathbb{F}^n }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math]. הוקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] נקרא וקטור עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
הגדרה:
אוסף כל הערכים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא הספקטרום של [math]\displaystyle{ A }[/math], ומסומן [math]\displaystyle{ spec(A) }[/math].
הערה:
יכול להיות המצב [math]\displaystyle{ spec(A)=\varnothing }[/math].
משפט:
[math]\displaystyle{ \lambda=0 }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה.
הערה:
[math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ det(A)=0 }[/math].