אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

ארכיון 9 - לקראת הבוחן

ארכיון 10 - פוסט בוחן

ארכיון 11 - תרגיל 9

ארכיון 12 - תרגיל 9

ארכיון 13 - תרגיל 10

ארכיון 14 - תרגיל 10

ארכיון 15 - תרגיל 10

ארכיון 16 - לקראת המבחן

סיכום

מצורף סיכום ממש טוב של כל המשפטים שנלמדו בקורס... תהנו!! (קרדיט ליותם ברקוביץ'): סיכום

ארז - אתה יכול בבקשה לשים אותו בדף הראשי? תודה...

שאלה

איך מוכיחים התכנסות של האינטגרל מ-0 עד 1 של $ln^a(x)$ עבור a חיובי?

(לא תומר/ארז)עבור a חיובי? זה נשמע קצת מוזר, כי ln(x) הוא שלילי בתחום הזה, ואם למשל נבחר a=0.5 כל הפונק' לא תהיה מוגדרת בתחום הזה..

עבור a>=1, אפשר להשוות את הערך המוחלט בחזקת אלפא עם הערך המוחלט עצמו (קטן שווה ממנו), ואז בגלל ש|lnx| מתכנס ב[0,1] (לפי אינטגרציה בחלקים פשוטה), גם שלנו מתכנס

שאלה

תהא $f_n$ סדרת פונקציות רציפות על [0,1] שמקיימות $f_n(0)=0$ לכל n, ותהי f רציפה על [0,1] המקיימת את אותו התנאי. אם האינטגרל מ-0 ל-x של $f_n$ מתכנס לאינטגרל מ-0 ל-x של f במ"ש ב-[0,1], הוכח או הפרך : $f_n$ מתכנס ל-f בקטע [0,1].

(לא ארז/תומר) הפרכה, תיקח fn(x)= x^n ו f=0 כל התנאים מתקיימים אבל fn לא מתכנסת לf בקטע.

יפה, תודה רבה!

שאלה

הרגע גיליתי משהו שזעזע אותי - למה $\frac{e^{4n}}{n!} \rightarrow 0$ ?

(לא ארז/תומר) תנסה את מבחן דלאמבר לסדרות. מקבלים ביטוי ששואף לאפס, בפרט קטן מאחד החל מ-N0 מסי\ויים, ומכאן שהסדרה אכן שואפת לאפס!

למה זה מפתיע? למעלה יש לך e^4 (קבוע) בחזקת n ולמטה יש n!. שניהם זה מכפלה של n איברים. כאשר n גדול הרבה יותר מe^4 הביטוי למטה גדול יותר.

שאלה

אם יש לי פונקציה שהיא מנה/מכפלה של שתי פונקציות שאני יודע לפתח לטור חזקות. האם אפשר לפתח כל אחת מהם בנפרד ואז להכפיל/לחלק את האיבר הכללי? מה קורה לx^n במקרה זה? הכוונה שלי לפונקציות כמו: f=ln(1+x)/(1+x) w את הלאן ואת 1+x אני יודע לפתח לטור חזקות, האם במקרה זה האיבר הan של f בטור שווה לחילוק האיברים an בשני הפיתוחים?

תשובה

לא. חלוקה וכפל של טורים אינה חלוקה וכפל איבר-איבר

המשך השאלה

אז איך כן מפתחים את הפונקציה הזו לטור חזקות? הגעתי למצב שאני צריך לפתח את ln^2(1+x) לטור חזקות, אבל כמו שאמרת, מכפלה של טורים זה לא מכפלה איבר איבר..

תומר - יש בתורת טורי החזקות משפטים שמתייחסים למכפלת טורים , שאותם לא למדתם (זה לא שונה ממכפלת פולינומים - רק שכאן יש אינסוף מקדמים ויש להתייחס לשאלת ההתכנסות של הטור שמתקבל ...) פונקציה כזו היא "קלאסית " ליישום אחד המשפטים . מעבר לזה - אפשר לנסות למצוא נוסחא שנותנת נגזרת מסדר n - זה יוצא ארוך , אבל אם מציבים אפס (טור מקלוריין ) אפשר לנסות להשתמש בה . אבל שוב - הדרך לפתח טורים ספציפיים כאלו - ( שלא ניתן למשל למצוא איזה טור הנדסי אינסופי כמו שראינו בכיתה) היא בעזרת משפטי המכפלה .

תזכורת לארז

היי ארז, בשיעור החזרה היום ביקשת ממני להזכיר לך לבדוק את ההוכחה שלכם לתרגיל האחרון בקובץ החזרה של תומר. בקשר להתייחסות לגבול העליון/התחתון כאל גבול ממש, והטענה שמשהו מתקיים לכל n גדול מ-N. תודה.

תשובה

מה שרשום שם הוא כך: נניח והגבול העליון הוא L. לכל x>L קיים n_0 כך שלכל n>n_0 הסדרה קטנה מx. זה נכון, כי L הוא הגבול העליון. אם תמיד היה איבר בסדרה שגדול מx אז היה גבול חלקי גדול או שווה לx שגדול ממש מL בסתירה.