88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן
מתוך Math-Wiki
משפט קנטור על רציפות במ"ש
המשפט
תהי כך ש- קבוצה קומפקטית ו- רציפה ב- , אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)
הוכחה
נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-
.
זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: , ולכל נסמן את בהתאם: .
לכן לכל k מתקיים:
כיוון שכל הנקודות ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה שמתכנסת לנקודה שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).
נשים לב ש- . מתוך הנתון ש- f רציפה ב- נקבל ש- אך אם כך, בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- . משל