קוד:אפיון נק' קיצון עפ"י נגזרות מסדר גבוה

ראינו במשפט פרמה שאם $f $ גזירה בנקודת קיצון אז הנגזרת היא $0$ אבל זה לא אומר שאם הנגזרת היא 0 הנק' היא נק' קיצון. לדוגמה עבור $f(x)=x^3 $ אז $f'(0)=0 $ אבל $x=0$ לא נק' קיצון. הכלל הבא עוזר לפתור הרבה בעיות מהסוג הזה:

\begin{thm} נניח $f\in D^n (a,b) $ וב- $x_0\in (a,b) $ מתקיים ש- $f'(x_0)=f(x_0)=\cdots f^{(n-1)}(x_0)=0 $ אבל $f^{(n)}(x_0)\neq 0 $ . אזי אם $n$ אי זוגי אין נק' קיצון ב- $x_0 $, אם $n$ זוגי והנגזרת ה- $n$ית חיובית אז $x_0 $ מינימום ואם הנגזרת ה- $n$ית שלילית אז ב- $x_0 $ נק' מקסימום. \end{thm}

\begin{proof} מתקיים ש- $f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \varepsilon (x) \cdot (x-x_0)^n \text{where} \lim_{x\to x_0} \varepsilon(x) = 0 $ . לכן אם נעביר אגפים יתקיים

$$f(x)-f(x_0)=(x-x_0)^n \left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) $$

מהגדרת הפונקציה אפסילון נקבל שקיים $\delta $ כך ש- $\forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |\varepsilon(x)|<|\frac{f^{(n)}}{(2n)!}| $ ולכן הסימן של $\left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) $ זהה לסימן של $\frac{f^{(n)}}{n!} $.

כעת נחזור לכך ש-

$$f(x)-f(x_0)=(x-x_0)^n \left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) $$

נניח $n$ אי זוגי אז נראה שעבור $x$ים מצדדים שונים של $x_0 $ הסימן של $f(x)-f(x_0) $ ישתנה בהתאם ומכאן שלא נק' קיצון.

נניח $n$ זוגי אז $f^{(n)} (x_0) >0 \Rightarrow \frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x)>0 \Rightarrow f(x)-f(x_0) \geq 0 $ ואז $x_0 $ נק' מינימום. עבור נגזרת $n$ית שלילית נקבל מקסימום באופן דומה. \end{proof}