קוד:בסיס ומימד של סכום ישר

הוכחנו מספר תנאים שקולים להיות סכום ישר, ונשאלת השאלה - כמרחב וקטורי, מהו המימד שלו? באלגברה לינארית 1, הוכחנו שעבור 2 מרחבים, המימד של הסכום הישר הוא סכום המימדים. נוכיח שנוסחה דומה עובדת במקרה הכללי:

\textbf{למה:}

יהי $V=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_k$. אזי:

\begin{enumerate}

\item אם $B_i$ בסיס של $U_i$ )לכל $i=1,\dots,k$(, אזי $B_1\cup B_2\cup\dots\cup B_k$ בסיס של $V$.

\item $\dim V=\dim U_1+\cdots+\dim U_k$.

\end{enumerate}

\textit{הוכחה:}

\begin{enumerate}

\item נוכיח פרישה ובת"ל.

\begin{enumerate}

\item \underline{$B$ פורשת:} יהי $v\in V$. אזי קיימים $u_i\in U_i$ לכל $i=1,\dots,k$ שעבורם $v=u_1+\cdots+u_k$. כל $u_i$ ניתן להציג באמצעות איברים מ-$B$, ולכן גם $v$ ניתן להציג באמצעות איברים מ-$B$, כלומר $B$ פורשת.

\item\underline{$B$ בת"ל:} נובע מסעיף 2 מהלמה הקודמת.

\end{enumerate}

\item כמסקנה ישירה מהסעיף הקודם,

$\dim V=\left|B\right|=\left | B_1 \right |+\cdots+\left | B_k \right |=\dim U_1+\cdots+\dim U_k$.

\end{enumerate}