קוד:התכנסות בהחלט והתכנסות בתנאי

\subsection{התכנסות בהחלט} \begin{definition} אומרים שהטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס בהחלט אם $\sum_{n=1}^\infty |a_n| $ מתכנס. \end{definition}

\begin{thm} טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. \end{thm}

\begin{proof} נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ-$0$, אז אנחנו יודעים ש- $$\exists_N \forall_{n>m>N} \left |\sum_{k=m}^n |a_k| \right | < \epsilon $$ אם כך, $\left |\sum_{k=m}^n a_k \right | \leq \sum_{k=m}^n |a_k| $ פשוט מאי שיוויון המשולש, וכיוון שכל האיברים בסכום חיוביים זה בדיוק שווה ל- $\left |\sum_{k=m}^n |a_k| \right |$ שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- $N$ שאנחנו מחפשים כדי להוכיח שזה סדרת קושי פשוט להיות אותו $N$ וסיימנו! \end{proof}

\begin{example} הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2^n } {n^2} $ מתכנס משום ש- $\sum_{n=1}^\infty |\frac{\sin 2^n}{n^2}| \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} $ וממבחן ההשוואה הראשון, הטור מתכנס בהחלט, לכן מתכנס. \end{example}

\subsection{התכנסות בתנאי} \begin{definition} אומרים שהטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס בתנאי אם הוא מתכנס אבל לא מתכנס בהחלט. \end{definition}

\begin{example} הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots $ מתכנס בתנאי (ראינו שלא מתכנס בהחלט כי טור הערכים המוחלטים זה הטור ההרמוני, למה הוא מתכנס נראה עוד מעט). \end{example}