קוד:מימד המרחב העצמי המוכלל

אחת הנקודות ש"דחקנו" הצידה היא מהו המימד של $K_\lambda$. בלמה הקודמת השתמשנו בו מבלי לקרוא לו בשם. נזכור כי המרחב העצמי המוכלל מכיל את המרחב העצמי, ולכן מימדו חייב להיות גדול )או שווה( לריבוי הגיאומטרי. נשמע מוכר? לא סתם:

\textbf{למה:}

$\dim K_\lambda$ שווה לריבוי האלגברי של $\lambda$.

\textit{הוכחה:}

נסמן $B$ ו-$B'$ בסיסים של $K_\lambda$ ושל $I_\lambda$ בהתאמה. נגדיר $\tilde{B}=B\cup B'$ )איחוד זר(, $\tilde{B}$ בסיס של $V$. אם כן,

$\left[T \right ]_{\tilde{B}}=\left(\begin{matrix} \left[T \right ]_B &0 \\ 0 & \left[T \right ]_{B'} \end{matrix} \right )$

ולכן $p_T\left(x \right )=p_{T|_{K_\lambda}}\left(x \right )\cdot p_{T|_{I_\lambda}}\left(x \right )$. לכן, לפי הלמה הקודמת, אם נסמן $m=\dim K_\lambda$, נקבל

$p_T\left(x \right )= p_{T|_{K_\lambda}}\left(x \right )\cdot p_{T|_{I_\lambda}}\left(x \right )= \left(x-\lambda \right )^m\cdot p_{T|_{I_\lambda}}\left(x \right )$

נותר להוכיח ש-$\lambda$ איננו שורש של $p_{T|_{I_\lambda}}\left(x \right )$. אנו יודעים כי $\left\{0 \right \}\subseteq V_\lambda\subseteq K_\lambda\subseteq V$, והוכחנו כי $K_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$. לכן, גם $V_\lambda\cap I_\lambda=\left\{0\right\}$. כלומר, אין וקטור עצמי הקשור ל-$\lambda$ ב-$I_\lambda$, ומכאן ששום ערך עצמי של האופרטור $T|_{I_\lambda}$ איננו שווה ל-$\lambda$. לכן, $\left(x-\lambda\right)$ אינו מחלק את הפולינום האופייני $p_{T|_{I_\lambda}}\left(x \right )$.

אם כן, $m$ הוא הריבוי האלגברי של $\lambda$, כדרוש.