קוד:קריטריון לשילוש

הגדרנו שילוש מטריצות, והמטרה הייתה להחליש את הדרישות של לכסון; שיהיו בידינו יותר מטריצות שניתן לשלש מאשר ללכסן. המשפט הבא יראה לנו שהקריטריון לשילוש יחסית חלש, כלומר מטריצות רבות מקיימות אותו.

\textbf{משפט:}

מטריצה $A$ ניתנת לשילוש אם ורק אם $p_A\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים.

\textit{הוכחה:}

$\Leftarrow$

נניח ש-$A$ ניתנת לשילוש, זאת אומרת $A\sim C$, כאשר $C$ משולשת. אזי,

$p_A\left(x \right )=p_C\left(x \right )=\det\left(xI-C \right )=\det\left(\begin{matrix} x-c_{11} & & \star\\

& \ddots & \\ 

0 & & x-c_{nn} \end{matrix} \right )=\prod_{j=1}^n\left(x-c_{jj} \right )$, כדרוש.

$\Rightarrow$

נניח ש-$p_A\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים.

יהי $\left(x-\lambda\right)$ אחד מהגורמים, כאשר $\lambda$ ע"ע של $A$. יהי $v$ ו"ע של $A$ הקשור ל-$\lambda$.

נשלים את הקבוצה $\left\{v\right\}$ לבסיס $B$ של $\mathbb{F}^n$, נסמן $B=\left \{ v,v_2,\dots,v_n \right \}$. נסמן ב-$P$ את מטריצת המעבר בין הבסיסים )הסטנדרטי ו-$B$(. אזי יחסית לבסיס $B$ נקבל: $P^{-1}AP=\left(\begin{matrix} \lambda & \star & \cdots & \star\\ 0 & & & \\ \vdots & & \tilde{A} & \\ 0 & & & \end{matrix} \right )=A_1$

לכן, $p_A\left(x \right )=p_{A_1}\left(x \right )=\left(x-\lambda \right )\cdot p_{\tilde{A}}\left(x \right )$.

אם כן, $p_{\tilde{A}}\left(x\right)$ מתפרק לגורמים לינאריים. נשלים את ההוכחה באינדוקציה.

עבור $n=1$ אין מה להוכיח.

נניח שהמשפט נכון ל-$n-1$, ונוכיח ל-$n$. בסימונים הנ"ל, $\tilde{A}$ ניתנת לשילוש, כלומר קיימת $Q$ כך ש-$Q^{-1}\tilde{A}Q$ משולשת.

נגדיר $C=P\cdot \left(\begin{matrix} 1 &0 \\0

&Q 

\end{matrix} \right )$. אזי

$C^{-1}AC=\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0

&Q 

\end{matrix} \right )^{-1}P^{-1}AP\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0

&Q 

\end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0

&Q^{-1} 

\end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} \lambda &\star \\ 0 &\tilde{A} \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0

&Q 

\end{matrix} \right )= =\left(\begin{matrix} \lambda &\star \\ 0 &Q^{-1}\tilde{A}Q \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} \lambda & & & \star\\

& \star &  & \\ 
&  & \ddots & \\ 

0 & & & \star \end{matrix} \right )$

כדרוש.