קוד:חסמים

\begin{definition} תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי: \begin{enumerate} \item $M$ נקרא חסם מלעיל של A אם $\forall a\in A:a\leq M$ (כלומר שגדול/שווה מכל איברי הקבוצה)

\item $m$ נקרא חסם מלרע של A אם $\forall a\in A:a\geq m$

\end{enumerate}

\end{definition}

\begin{example} ניקח לדוגמה את $$A=\{1,2,3,-5,463\} $$ $1000$ חסם מלעיל של $A$ משום שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה.\\ גם $683$ חסם מלעיל של $A$, מאותה סיבה. \\ $463$ הוא מקרה מיוחד של חסם מלעיל מיוחד, הוא המקסימום, דבר שנגדיר עוד מעט. מצד שני\\ $-5.5 $ חסם מלרע של $A$ משום שקטן או שווה לכל איברי הקבוצה.\\ $-5 $ גם הוא חסם מלרע של $A$, אך הפעם זהו המינימום \end{example}

\begin{example} לא לכל קבוצה יש חסם מלעיל או מלרע. לדוגמה ניקח את $\mathbb{N}=\{1,2,3,\cdots\}$ ונראה ש-$0$ הוא חסם מלרע, איך אין לקבוצה חסם מלעיל! \end{example}

\begin{definition} תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי:\\ $M$ הוא חסם עליון של $A$ אם מתקיים:\\ א. $M$ חסם מלעיל\\ ב. לכל חסם מלעיל $T$ מתקיים $M\leq T$\\ מסמנים אותו $\sup A $, מהמילה $\text{superior}$. \end{definition}

\begin{remark} חסם מלעיל של $A$ הוא חסם עליון אם אין חסם מלעיל קטן ממנו, בעצם חסם עליון הוא חסם המלעיל הכי קטן. \end{remark}

\begin{definition} תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי:\\ $M$ הוא חסם עליון של $A$ אם מתקיים:\\ א. $M$ חסם מלרע\\ ב. לכל חסם מלרע $T$ מתקיים $M\geq T$\\ מסמנים אותו $\inf A $, מהמילה $\text{inferior}$.

\end{definition}

\begin{example} ניקח את $$B=\left \{\left ( \frac{1}{n} \right ) : n\in \mathbb{N} \right \} = \left \{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots\right \} $$ נשים לב ש-$1$ חסם מלעיל של הקבוצה ואפילו החסם העליון שלה, משום שכל חסם מלעיל צריך להיות גדול או שווה לכל איברי הקבוצה, בפרט ל-$1$.\\ הקבוצה חסומה מלרע ע"י $0$, וזה גם החסם התחתון, משום שאם היה חסם מלרע אחר, אפסילון, שלכל $n$ היה מקיים $\varepsilon<\frac{1}{n}$ אז אפשר לראות שזה בלתי אפשרי ע"י לקחת $n>\frac{1}{\varepsilon} $ ולהגיע לסתירה.\\ \end{example}

\begin{remark} לא תמיד קיים חסם עליון, לדוגמה אם הקבוצה לא חסומה מלעיל, בוודאי שאין חסם עליון. \end{remark}

\begin{thm} אם חסם עליון קיים אזי הוא יחיד \end{thm}

\begin{proof} אם $M_1,M_2 $ חסם עליונים אז שניהם חסמים מלעיל. כיוון ש- $M_1 $ חסם עליון ו- $M_2 $ חסם מלעיל מתקיים ש- $M_1\leq M_2 $, ובאופן סימטרי כיוון ש- $M_2 $ חסם עליון ו- $M_1 $ חסם מלעיל אז $M_2\leq M_1 $. בסך הכך $M_1=M_2 $ ואז ראינו שאם יש כמה חסמים עליונים, הם בעצם אותו אחד. \end{proof}

\begin{remark} הטענה נכונה גם לחסם תחתון, עם הוכחה כמעט זהה (רק צריך להפוך את סימני אי השיוויונים) \end{remark}

\begin{definition} חסם עליון של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A (בעצם המקסימום זה איבר בקבוצה שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה)\\ חסם תחתון של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A

\end{definition}

\begin{example} ניקח את $C=[a,b)$. נראה כי $\inf C = a , \sup C = b $, וכיוון ש- $a\in C , b\not\in C $ נקבל שיש לקבוצה מינימום אבל לא מקסימום. \end{example}

\begin{example} ניקח את $$D=\left \{\left ( \frac{1}{10} \right )^n : n\in \mathbb{N} \right \} = \left \{0.1,0.01,0.001,\cdots\right \} $$ נשים לב ש-$0.1$ חסם מלעיל של הקבוצה, ומשום גם נמצא בתוך הקבוצה הוא מקסימום שלה ומכאן גם חסם עליון.\\ מה המינימום שלה? נראה שאין כזה ע"י כך שנמצא את החסם התחתון של $D$ ונראה שהוא לא בקבוצה, למרות שמינימום הוא תמיד בקבוצה.\\ $0$ חסם תחתון של $D$ משום שחסם מלרע וגם אם קיים חסם מלרע גדול יותר, $\varepsilon$ אז מתקיים $$\forall n :\varepsilon\leq \left ( \frac{1}{10} \right )^n =\frac{1}{10^n}\Rightarrow$$ $$\forall n : 10^n \leq \frac{1}{\varepsilon} $$ אבל החלק הימני קבוע והחלק השמאלי יכול להיות גדול כרצוננו (עבור בחירת $n$ מספיק גדול) ולכן קיבלנו שמשהו שגדול כרצוננו קטן ממשהו קבוע וזוהי כמובן סתירה, ומכאן ש-$0$ הוא חסם המלרע הכי גדול.\\ מצד שני $0\not\in D $ , ולכן אין מינימום. \end{example}

\begin{thm} אם $M$ חסם מלעיל של $A$ ו- $M\in A$ אזי הוא מקסימום \end{thm}

\begin{proof} צריך להוכיח ש-$M$ חסם עליון. נניח שקיים חסם מלעיל אחר, $T$ אזי $\forall a\in A : a\leq T $ אבל $M\in A $ ולכן $M\leq T$. לכן הוא חסם עליון. \end{proof} שימו לב לשלילות הבאות: \begin{enumerate} \item $M$ אינו חסם מלעיל אם"ם קיים איבר $a\in A$ כך ש- $a>M$ \item $m$ אינו חסם מלרע אם"ם קיים איבר $a\in A$ כך ש- $a<M$ \item $M$ אינו חסם עליון אם"ם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:\\ א. $M$ אינו חסם מלעיל\\ ב. קיים חסם מלעיל $T$ כך ש- $T<M$. \item $m$ אינו חסם תחתון אם"ם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:\\ א. $m$ אינו חסם מלרע\\ ב. קיים חסם מלרע $t$ כך ש- $m<t$. \end{enumerate}

\begin{thm} תהי $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל אזי:

M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a>M-\epsilon$

m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a<m+\epsilon$

\end{thm} במילים: M חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)

\begin{proof} נוכיח עבור חסם עליון, ועבור חסם תחתון אפשר להוכיח באופן דומה.\\ \boxed{\Leftarrow}\\ נניח $M$ חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-$M$ חסם מלעיל. נותר להוכיח כי $$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$$ נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.\\ לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון $M$, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.\\ \boxed{\Rightarrow} נניח בשלילה ש- $M$ לא חסם עליון. לפי הנתון הוא חסם מלעיל ולכן מההנחה בשלילה מסיקים שיש חסם מלעיל קטן ממנו, נסמנו $m$. נסתכל על $\varepsilon=M-m $ , ונראה ש- $M-\varepsilon=m $ , שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה, ולכן אין איבר ב-$A$ שגדול מ-$M-\varepsilon$, בסתירה לנתון. \end{proof}

\begin{remark} תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ ונגדיר $B=\{-a : a\in A\} $. אזי\\ 1. $M $ חסם מלעיל של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם מלרע של $B$\\ 2. $M$ חסם עליון של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם תחתון של $B$. \end{remark}

\begin{proof} \begin{enumerate} \item $-M$ חסם מלרע של $B$ $\Leftrightarrow$\\ $\forall b \in B : -M\leq b $ $\Leftrightarrow$\\ $\forall a\in A : -M\leq -a $ $\Leftrightarrow$\\ $\forall a\in A : a\leq M $ $\Leftrightarrow$\\ $M$ חסם מלעיל של $A$ \item נניח $M$ חסם עליון של $A$, בפרט הוא חסם מלעיל ולכן $-M$ חסם מלרע של $B$. כעת נניח בשלילה שקיים חסם מלרע $m\geq -M $, ולכן $-m\leq M $ חסם מלעיל של $A$ בסתירה לכך ש- $M$ חסם המלעיל הכי קטן שלו, ולכן אין חסם מלרע גדול מ- $-M$ ואז הוא חסם תחתון. את הכיוון השני מוכיחים באופן דומה. \end{enumerate} \end{proof}

\begin{remark}[אקסיומת החסם העליון] מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $\phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל קיים חסם עליון. \end{remark}

\begin{thm} אם $\phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון. \end{thm}

\begin{proof} תהי $A$ לא ריקה חסומה מלרע. אם נגדיר את $B$ כמו במשפט האחרון נקבל שהיא חסומה מלעיל לפי המשפט, ומההערה יש לה חסם עליון $M$. מאותו המשפט, נקבל ש- $-M$ חסם תחתון של $A$ ולכן הוכחנו שיש לה חסם תחתון. (מצאנו אותו) \end{proof}

\begin{remark} בהנתן 2 קבוצות לא ריקות $A,B$ נגדיר את $A+B$ באופן הבא: $$A+B=\{ a+b | a\in A , b\in B\}$$ אם שתיהן חסומות מלעיל אזי גם $A+B$ חסומה מלעיל ומתקיים ש- $\sup(A+B)=\sup A + \sup B $ \end{remark}

\begin{proof} קודם כל נראה ש- $\sup A + \sup B $ הוא חסם מלעיל של $A+B$: יהי $x\in A+B$ אזי קיימים $a\in A , b\in B $ כך ש- $x=a+b$.\\ כעת נראה ש- $x=a+b\leq \sup A + \sup B $ משום ש- $a\leq \sup A , b\leq \sup B$.\\ כעת נראה שזהו חסם עליון: יהי $\varepsilon>0 $. ידוע אז ש- $$\exists a'\in A , b'\in B : \sup A -\frac{\varepsilon}{2}<a' , \sup B-\frac{\varepsilon}{2}<b'$$ ולכן $$\sup A + \sup B - \varepsilon = \sup A -\frac{\varepsilon}{2} + \sup B-\frac{\varepsilon}{2} < a'+b' \in A+B$$ הוכחנו שלכל אפסילון קיים איבר ב- $A+B$ שגדול מ- $\sup A + \sup B - \varepsilon$ ולכן\\ $\sup A + \sup B$ הוא החסם העליון של $A+B$ \end{proof}