הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

שיעור ראשון

שדות

הגדרה: שדה.

תרגיל 1.3 סעיף ג'

יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0 }[/math], כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.

פתרון

ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שאקסיומות השדה מתקיימות.

יהא [math]\displaystyle{ a\in \mathbb{F} }[/math]. צריך להוכיח כי [math]\displaystyle{ 0\cdot a = 0 }[/math]

לפי תכונה (4) [ניטרליות 0 לחיבור] מתקיים ש [math]\displaystyle{ 0+0=0 }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ 0\cdot a = (0+0)\cdot a }[/math]

לפי תכונה (7) [פילוג] מתקיים בנוסף ש[math]\displaystyle{ 0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a }[/math] (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))

לפי תכונה (5) [קיום נגדי] לאיבר [math]\displaystyle{ 0\cdot a \in\mathbb{F} }[/math] קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל [math]\displaystyle{ 0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a)) }[/math]

לפי תכונה (3) [קיבוציות] ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל [math]\displaystyle{ 0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a))) }[/math]

עוד לפי תכונה (5) [תכונת הנגדי] יחד עם תכונה (4) [נטרליות 0 לחיבור] מתקיים ש[math]\displaystyle{ 0 = 0\cdot a }[/math] בדיוק כפי שרצינו להוכיח.

תרגיל 1.3 סעיף ו'

יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a }[/math]. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)

פתרון

יהא a בשדה צריך להוכיח כי [math]\displaystyle{ (-a)+a=0 }[/math] [זה הגדרת נגדי].

כיוון החיבור חילופי נקבל כי [math]\displaystyle{ (-a)+a=a+(-a) }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ a+(-a)=0 }[/math] לפי הגדרת נגדי של a, סיימנו.

תרגיל 1.3 סעיף ז'

יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:(-1)\cdot a=-a }[/math]. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)

פתרון

מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, [math]\displaystyle{ 0=0\cdot a = (1+(-1))\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a }[/math]

לפי תכונה (4) קיבלנו [math]\displaystyle{ 0=a+(-1)\cdot a }[/math]

נוסיף לשני האגפים את הנגדי של a ונקבל [math]\displaystyle{ -a=(-1)\cdot a }[/math] כפי שרצינו.

תרגיל 2.3 סעיף א'

יש להוכיח שקבוצת הטבעיים [math]\displaystyle{ \mathbb{N}=\{1,2,3,....\} }[/math] אינה שדה.

פתרון

אין איבר נייטרלי לחיבור: [math]\displaystyle{ \forall n,k\in\mathbb{N}:n+k\gt n }[/math] ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים [math]\displaystyle{ n+0=n }[/math].

תרגיל 2.3 סעיף ג'

הגדרה: נגדיר את הקבוצה הבאה: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\} }[/math].

עובדה: עבור n=p ראשוני הקבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{p-1}\} }[/math] הינה שדה ביחס לחיבור וכפל מודלו p. הניטרלי לחיבור הוא 0 והנטרלי לכפל הוא 1. למשל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\} }[/math]

תרגיל: הוכיחו כי ש[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk) ביחס לפעולות החיבור והכפל מודולו n.

פתרון

לפי הנתונים קיימים [math]\displaystyle{ 0\lt k,m\lt n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ mk=n }[/math]. לפיכך, לפי ההגדרה,

[math]\displaystyle{ \overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0} }[/math].

לו היה זה שדה, היו קיים הופכי ל m. אם היינו כופלים אותו בשני האגפים היינו מקבלים:

[math]\displaystyle{ \overline{k}=\overline{m}^{-1}\overline{m}\overline{k} =\overline{m}^{-1} 0 = 0 }[/math]

ולכן 0=k בסתירה להגדרת k.

תרגיל 2.6

הסבר מדוע [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math] אינו תת שדה של [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]

פתרון

תת שדה הינו תת קבוצה של איברים, תחת אותן פעולות כמו בשדה. לכן [math]\displaystyle{ (p-1)+1 = p \neq 0 }[/math] ולכן אין סגירות לחיבור וזה אינו תת שדה.

מרוכבים

נגדיר מרוכבים, נראה שרוב תכונות השדה הן טריוויאליות פרט לקיום ההופכי וגם זה ניתן להוכחה.

תרגיל 3.2

אם נשנה את פעולת כפל המרוכבים לפעולה הבאה: [math]\displaystyle{ (a+bi)(c+di)=ac+bdi }[/math], האם קבוצת המרוכבים תשאר שדה?

פתרון

לא. ניקח [math]\displaystyle{ (0+i)\cdot(1+0\cdot i)=0 }[/math] כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. בדומה לתרגיל קודם, אם נכפול בהופכיים שלהם נקבל 1=0 בסתירה.

תרגיל 3.4

הצג את הביטוי הבא בצורה [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] וציין מהם [math]\displaystyle{ Re(z),Im(z),\overline{z},|z| }[/math]. הביטוי הינו: [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i} }[/math]

פתרון

נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה [math]\displaystyle{ \frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} }[/math].

נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1} }[/math] וכעת רשמנו [math]\displaystyle{ (5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}] }[/math]

לפיכך נקבל [math]\displaystyle{ z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i }[/math]

[math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i }[/math]

תכונות של מרוכבים

[math]\displaystyle{ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{z}z=|z|^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math]

משפט דמואבר

ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה [math]\displaystyle{ z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta) }[/math] כאשר r הוא ממשי אי-שלילי (המציין את המרחב בראשית הצירים ושווה ל |z|) והזווית [math]\displaystyle{ \theta }[/math] נמדדת נגד כיוון השעון מהקרן החיובית של ציר x. צורה זו נקראת הצורה הקוטבית של מספר מרוכב z. (ההצגה של המספר המרוכב z=a+bi, נקראת ההצגה הקרטזית שלו)

משפט דמואבר אומר ש [math]\displaystyle{ (rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta) }[/math]

תרגיל 3.8 א'

חשב את [math]\displaystyle{ (1+\sqrt{3}i)^{2011} }[/math]

פתרון

דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית. בהנתן מספר מרוכב z=a+bi המעבר לצורה הקוטבית שלו [math]\displaystyle{ z=r\cdot cis(\theta) }[/math] מתבצע על ידי [math]\displaystyle{ r=|z|, cos\theta = \frac{a}{r} }[/math]

אצלנו בשאלה

[math]\displaystyle{ r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2 }[/math]

[math]\displaystyle{ cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \theta = \frac{\pi}{3} }[/math]

ביחד [math]\displaystyle{ z=2cis\frac{\pi}{3} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3} }[/math] מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל

[math]\displaystyle{ 2^{2011}cis(335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=2^{2011}cis\frac{\pi}{3} }[/math]

מערכות משוואות לינאריות

מערכות משוואות לינאריות בn משתנים עם m משוואות הינה מערכת מהצורה

[math]\displaystyle{ a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=a_{n+1} }[/math]

[math]\displaystyle{ b_1x_1+b_2x_2+...+b_nx_n=b_{n+1} }[/math]

...

(סה"כ m משוואות)

ניתן להציג כל מערכת כזו באמצעות טבלת מספרים הנקראת מטריצה. לדוגמא:

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x+3y=5\\ y-z=2\\ x+2y+z=4 \end{matrix}\right. }[/math]

את המערכת הנ"ל נייצג באמצעות המטריצה

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & |5 \\ 0 & 1 & -1 & |2 \\ 1 & 2 & 1 & |4 \end{pmatrix} }[/math]

ניתן להבחין במספר פעולות שלא ישנו את פתרונות מערכת המשוואות:

כפל שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס (שקול לכפל שורה במטריצה במספר שונה מאפס)

[math]\displaystyle{ A\to [2R_1\to R_1] \to \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 & |10 \\ 0 & 1 & -1 & |2 \\ 1 & 2 & 1 & |4 \end{pmatrix} }[/math]

חיבור שני אגפי משוואה אחת כפול קבוע, לשני אגפי משוואה שנייה (שקול לחיבור שורה אחת כפול קבוע במטריצה לשורה אחרת)

[math]\displaystyle{ A\to [-R_1+R_3\to R_3] \to \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & |5 \\ 0 & 1 & -1 & |2 \\ 0 & 1 & 1 & |1 \end{pmatrix} }[/math]

החלפת סדר המשוואות (שקול להחלפת סדר השורות במטריצה)

[math]\displaystyle{ A\to [R_1\leftrightarrow R_2] \to \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & |2 \\ 1 & 3 & 0 & |5 \\ 1 & 2 & 1 & |4 \end{pmatrix} }[/math]

דירוג גאוס

איבר מוביל/פותח/ציר הינו האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס (משמאל לימין). מטריצה נקראת מדורגת אם מתחת לכל איבר מוביל שלה יש אפסים בלבד וכל איבר מוביל נמצא מימין לאיברים המובילים הקודמים. בנוסף, יש את הדרישה כי שורות אפסים (אם קיימות) נמצאות בסוף. מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם היא מדורגת, ובנוסף יש אפסים מעל לכל איבר מוביל והאיברים המובילים חייבים להיות שווים למספר אחד.

הערה: לכל מטריצה קיימת צורה קנונית יחידה.

צורה סכמטית של צורה מדורגת היא הצורה (כאשר * מסמן ציר ו ? מסמן ערך כלשהוא) [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} * & ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & * & ? &? \\ 0 & 0 & 0 & * & ? \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]

צורה סכמטית של צורה קנונית היא הצורה (כאשר ? מסמן ערך כלשהוא) [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & ? & 0 & 0 & ?\\ 0 & 0 & 1 & 0 &? \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ? \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]

כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה (בפרט, נדרג את המטריצה לצורתה הקנונית). תהליך זה נקרא אלגוריתם לדירוג גאוס.

תרגיל

פתור את המערכת הבאה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) }[/math]

פתרון

נשתמש בדירוג גאוס

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{R_1 \leftrightarrow R_3} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{-2R_1 +R_2 \to R_2} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) }[/math]

זוהי הצורה המדורגת שממנה ניתן לראות כי יש פתרון יחיד. נמשיך לצורה הקנונית

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{-0.5R_2 +R_1 \to R_1} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1.5 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{0.5R_2 \to R_2} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1.5 \\ 0 & 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) }[/math] ומכאן קל לראות שהפתרון היחיד הוא [math]\displaystyle{ x=1.5, y=-0.5, z=1 }[/math]

תרגיל המשך

פתור את המערכת הבאה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) }[/math]

פתרון

נשתמש בדירוג גאוס

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{0.5R_1 \to R_1} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 0.5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) }[/math]

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי [math]\displaystyle{ y=t }[/math] ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. [math]\displaystyle{ z=1, x= 0.5-2t }[/math] ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

[math]\displaystyle{ \{\left( \begin{array}{c} 0.5-2t \\ t\\ 1 \end{array}\right) : \, t\in \mathbb{R} \} }[/math]

תרגיל המשך

פתור את המערכת הבאה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc|c} 2 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) }[/math]

פתרון

נשתמש בדירוג גאוס

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{-R_1 +R_2\to R_2} \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{R_2 \leftrightarrow R_3} \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{4R_2+R_3 \to R_3} \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array}\right) }[/math]

בשורה השלישית קיבלנו [math]\displaystyle{ 0z=5 }[/math] כלומר שורת סתירה ולכן אין פתרון.

תרגיל 1.5 סעיף ב'

פתור את המערכת הבאה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11} }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 5 & 3 & 3 & |0 \\ 7 & 3 & 7 & |0 \\ 7 & 9 & 0 & |3 \end{pmatrix} }[/math]

פתרון

נכפול את השורה הראשונה ב9 ואת השנייה והשלישית ב8. זכרו שכל הפעולות הן מודולו 11:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 & |0 \\ 1 & 2 & 1 & |0 \\ 1 & 6 & 0 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

נחסר את השורה הראשונה מן השורות השנייה והשלישית.

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 8 & 7 & |0 \\ 0 & 1 & 6 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

נכפול את השורה השנייה ב7

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 6 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

נחסר את השורה השנייה מהשלישית לקבל

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 5 & |0 \\ 0 & 0 & 1 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

ולכן הפיתרון הינו: [math]\displaystyle{ z=2, y=-10=1, x=-10-5=7 }[/math]

מספר פתרונות

נביט בצורה המדורגת של המטריצה.
משתנה אשר בעמודה שלו בצורה המדורגת יש איבר מוביל (איבר ראשון משמאל בשורה, ששונה מאפס), נקרא משתנה תלוי.
שאר המשתנים נקראים משתנים חופשיים.
אם בצורה המדורגת יש שורת סתירה, אזי אין פתרונות למערכת.
אם אין שורת סתירה בצורה המדורגת, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
- בפרט, אם אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים אז יש פתרון יחיד.
- בפרט, אם אין שורת סתירה, יש משתנים חופשיים ויש אינסוף מספרים בשדה אז יש אינסוף פתרונות.

תרגיל

מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a,t יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי.

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & |1 \\ a & a^2 & 1 & |2+a \\ a & 3a & 1 & |2-t \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_3:R_3-R2 }[/math]

[math]\displaystyle{ R_2:R_2-aR_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 1-a & |2 \\ 0 & 3a-a^2 & 0 & |-t-a \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_2\leftrightarrow -R_3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & |1 \\ 0 & a(a-3) & 0 & |a+t \\ 0 & 0 & 1-a & |2 \end{pmatrix} }[/math]

כעת נניח [math]\displaystyle{ a\neq 0,1,3 }[/math]. נבצע פעולות שחוקיות רק תחת ההנחה הזו, ולאחר מכן לחזור לנקודה הזו בדיוק ונפתור את המקרים [math]\displaystyle{ a=0,1,3 }[/math] בצורה חוקית.

[math]\displaystyle{ R_2:\frac{R_2}{a(a-3)} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_3:\frac{R_3}{1-a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & |1 \\ 0 & 1 & 0 & |\frac{a+t}{a(a-3)} \\ 0 & 0 & 1 & |\frac{2}{1-a} \end{pmatrix} }[/math]

במקרה זה אין משתנים חופשיים ויש פתרון יחיד.

נחזור למקרים האחרים:

נניח a=0 ונציב את הפרמטר הזו בנקודה בה עצרנו. נקבל:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & |t \\ 0 & 0 & 1 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

אנו מקבלים משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ 0=t }[/math].

- אם [math]\displaystyle{ t\neq 0 }[/math] זו סתירה ולכן אין אף פתרון שיקיים את כל משוואות המערכת (כי משוואה זו לעולם לא תתקיים).
- אם t=0 מקבלים משתנה חופשי, ואינסוף פתרונות: נציב במקום המשתנה החופשי פרמטר s ונקבל: [math]\displaystyle{ y=s,z=2,x=1-2 }[/math] ולכן סה"כ הפתרון הכללי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ (-1,s,2) }[/math]

נניח a=1:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & -2 & 0 & |1+t \\ 0 & 0 & 0 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

השורה האחרונה הינה שורת סתירה ולכן אין פתרונות במצב זה.

נניח a=3:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & |3+t \\ 0 & 0 & -2 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

- אם [math]\displaystyle{ t\neq -3 }[/math] יש שורת סתירה ואין פתרון למערכת
- אם t=3 הפתרון הכללי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ (2-3s,s,-1) }[/math]