תרגול 12 תשעז

מתוך Math-Wiki
הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

חזרה לדף מערכי התרגול.

פונקציות

הגדרה: יהיו [math]\displaystyle{ A,B }[/math] קבוצות ו-[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס בינהן. אזי:

  • התחום של R הינו [math]\displaystyle{ \mathrm{dom}(R)=\{a\in A|\exists b\in B,(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \} }[/math]
  • התמונה של R הינה [math]\displaystyle{ \mathrm{im}(R)=\{b\in B|\exists a\in A,(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \} }[/math]

הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי [math]\displaystyle{ \mathrm{dom}(R)\subseteq A, \mathrm{im}(R)\subseteq B }[/math].

דוגמה:

  • [math]\displaystyle{ R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\} }[/math] אזי התחום הוא [math]\displaystyle{ \mathrm{dom}(R)=\{a,1,2,3\} }[/math] והתמונה הינה [math]\displaystyle{ \mathrm{im}(R)=\{1,a,b\} }[/math].

הגדרה:

  • יחס [math]\displaystyle{ R }[/math] מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] נקרא על אם [math]\displaystyle{ \forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ \mathrm{im}(R)=B }[/math].
  • יחס [math]\displaystyle{ R }[/math] מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] נקרא מלא אם [math]\displaystyle{ \forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ \mathrm{dom}(R)=A }[/math]
  • יחס [math]\displaystyle{ R }[/math] נקרא חד ערכי אם [math]\displaystyle{ [(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b) }[/math] כלומר אין איבר מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] שמתאים לשני איברים שונים מ-[math]\displaystyle{ B }[/math].


הגדרה:

יחס חד ערכי ומלא נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה [math]\displaystyle{ (a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a) }[/math]. ובאופן כללי [math]\displaystyle{ f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a) }[/math]. ([math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] נקרא הטווח של הפונקציה.)

פונקציה נקראת חד-חד ערכית אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.

כלומר:

[math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע אמ"מ [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 }[/math] אמ"מ [math]\displaystyle{ x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2) }[/math].


הגדרה:

תהא [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה [math]\displaystyle{ f:A \to A }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ \forall a\in A: f(a)=a }[/math]. נהוג לסמנה [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_A }[/math]. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.

דוגמאות:

  • [math]\displaystyle{ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(p)=p^2 }[/math] (חח"ע ואינה על).
  • [math]\displaystyle{ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(x)=x-1 }[/math] (לא מוגדרת כי [math]\displaystyle{ f(1)=? }[/math]).

תרגיל

יהיו [math]\displaystyle{ A }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] הינה על אם"ם היא חח"ע.

הוכחה: נסמן [math]\displaystyle{ f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_n\} }[/math] . כאשר כל האיברים ב-[math]\displaystyle{ A }[/math] שונים זה מזה וכנ"ל ב-[math]\displaystyle{ B }[/math].

נניח [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע אזי [math]\displaystyle{ |\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|=n }[/math] כיוון ש-[math]\displaystyle{ \{f(a_1),\dots, f(a_n)\}\subseteq B }[/math] ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] על.

נניח [math]\displaystyle{ f }[/math] על. נניח בשלילה ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה חח"ע אזי [math]\displaystyle{ |\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|\lt n }[/math] (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה על, שזו סתירה.

הערה: הדבר אינו נכון אם [math]\displaystyle{ A }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.

הרכבת פונקציות

הגדרה: יהיו [math]\displaystyle{ f:A\to B, g:B\to C }[/math] שתי פונקציות אזי ההרכבה של [math]\displaystyle{ g }[/math] על [math]\displaystyle{ f }[/math] היא פונקציה [math]\displaystyle{ g \circ f:A\to C }[/math] המוגדרת על ידי הכלל [math]\displaystyle{ g \circ f(a)=g(f(a)) }[/math].

הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.

משפט:

  • אם [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math] חח"ע אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע.
  • אם [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math] על אזי [math]\displaystyle{ g }[/math] על.
  • מסקנה: אם [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math] חח"ע ועל אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע ו-[math]\displaystyle{ g }[/math] על.

פונקציות הפיכות

הערה: לכל פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f\circ \mathrm{id} =f }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \mathrm{id} \circ f =f }[/math].

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה [math]\displaystyle{ f:A\rightarrow B }[/math]. פונקציה [math]\displaystyle{ g:B\rightarrow A }[/math] תיקרא הפונקציה ההופכית ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] אם [math]\displaystyle{ f\circ g = \mathrm{id}_B }[/math] וגם [math]\displaystyle{ g\circ f = \mathrm{id}_A }[/math]. במקרה זה נסמן את [math]\displaystyle{ g }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math], ונאמר שהפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] היא הפיכה.

תרגיל (בהרצאה):

הוכיחו כי פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.

הוכחה:

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה, אזי [math]\displaystyle{ f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_B }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_A }[/math]. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע ועל לפי משפט קודם.

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע ועל, אז נגדיר [math]\displaystyle{ g:B\to A }[/math] ע"י: עבור [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] קיים (כי [math]\displaystyle{ f }[/math] על) [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] יחיד (כי [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע) כך ש-[math]\displaystyle{ f(a)=b }[/math] . נגדיר [math]\displaystyle{ g(b):=a }[/math]. תרגיל: בדקו כי [math]\displaystyle{ g }[/math] היא ההופכית של [math]\displaystyle{ f }[/math].