איחוד וחיתוך
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־15:08, 19 במרץ 2019 מאת Harel530 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם=== '''מוטיבציה:''' הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות...")
הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם
מוטיבציה: הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד יותר קבוצות, לדוגמא נרצה לדבר על חיתוכן של 17 הקבוצות . מכיוון שחיתוך ואיחוד הן פעולות אסוציטיביות, ניתן לרשום , וזה ביטוי חד משמעי. אך צורת רישום זו היא ארוכה, ולכן אנו מסמנים את החיתוך הזה בקיצור הבא: . לעיתים נרצה לחתוך או לאחד אוסף אינסופי של קבוצות, ולכך באה ההכללה הבאה:
הגדרה: יהיו אוסף קבוצות כאשר הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך:
. כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים לא ריקה.
דוגמא:
נגדיר אזי
א.
ב.
ג. נגדיר . חשבו את
הוכחה:
א. ע"י הכלה דו כיוונית.
ב. מספיק להראות .
ג. נתייחס ל- כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:.