אלגברה לינארית - ארז שיינר
חומר עזר
סרטוני ותקציר הרצאות
פרק 1 - שדות
הגדרה ותכונות של שדה
- שדה הוא קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] יחד עם שתי פעולות [math]\displaystyle{ +,\cdot }[/math] כך שמתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות: לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+b,a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]
- קומוטטיביות (חילופיות): לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+b=b+a }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a\cdot b=b\cdot a }[/math]
- אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+(b+c)=(a+b)+c }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c }[/math]
- נייטרליים: קיימים [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a }[/math]
- נגדיים: לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] קיים נגדי [math]\displaystyle{ -a\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a+(-a)=0_{\mathbb{F}} }[/math]
- הופכיים: לכל [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F} }[/math] קיים הופכי [math]\displaystyle{ a^{-1}\in \mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}} }[/math]
- דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c }[/math]
- יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot b=0_{\mathbb{F}} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a=0_{\mathbb{F}} }[/math] או [math]\displaystyle{ b=0_{\mathbb{F}} }[/math]
- תכונות נוספות של שדות
- [math]\displaystyle{ (-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a+b=a+c }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=c }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a\neq 0_{\mathbb{F}} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a\cdot b = a\cdot c }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=c }[/math]
שדות סופיים
שדה המרוכבים
הגדרת המספרים המרוכבים
- [math]\displaystyle{ \mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc) }[/math]
- נסמן
- [math]\displaystyle{ a=(a,0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ i=(0,1) }[/math]
- נובע כי [math]\displaystyle{ a+b\cdot i =(a,b) }[/math]
- הגדרות עבור [math]\displaystyle{ z=a+b\cdot i }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{Z}=a-b\cdot i }[/math]
- [math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ Re(z)=a }[/math]
- [math]\displaystyle{ Im(z)=b }[/math]
- תכונות
- [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math] אם [math]\displaystyle{ z\neq 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=2\cdot Re(z) }[/math]
- [math]\displaystyle{ z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w} }[/math]
צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)
- [math]\displaystyle{ a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]
- עבור הזוית נחלק למקרים:
- אם [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right) }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=\frac{\pi}{2} }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=-\frac{\pi}{2} }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi }[/math]
- [math]\displaystyle{ r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta) }[/math]
- עבור [math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math] טבעי, ומספר מרוכב [math]\displaystyle{ a+b\cdot i\neq 0 }[/math] קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה [math]\displaystyle{ z^n=a+b\cdot i }[/math]
- הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
- נעביר את המספר לצורתו הקוטבית [math]\displaystyle{ a+b\cdot i = r cis(\theta) }[/math]
- הפתרונות הם [math]\displaystyle{ z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k=0,1,...,n-1 }[/math]
תרגול
פרק 2- מערכות משוואות לינאריות
מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות
- [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\} }[/math] קבוצת הn-יות הסדורות.
- [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{n\times m} }[/math] קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]
הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות
- מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ומטריצת (וקטור) קבועים [math]\displaystyle{ \vec{b}\in\mathbb{F}^{n\times 1} }[/math].
- קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots \\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m \end{cases} }[/math]
פעולות דירוג אלמנטריות
- שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
- [math]\displaystyle{ \alpha R_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\neq \alpha\in\mathbb{F} }[/math] (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
- [math]\displaystyle{ R_i+\alpha R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
- [math]\displaystyle{ R_i \leftrightarrow R_j }[/math] (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)
ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה
צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית
- איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.
- מטריצה נקראת מדורגת אם:
- אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
- כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.
- מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
- היא מדורגת.
- כל האיברים הפותחים שווים ל1.
- בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.
משתנים חופשיים ותלויים
- משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
- כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.
- מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
- מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
- אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
- אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
- אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
- מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
- מדרגים קנונית את המטריצה שמייצת את המערכת.
- מוודאים שאין שורת סתירה.
- בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
- מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.
דירוג מטריצה עם פרמטר
הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית
תרגול
פרק 3 - אלגברת מטריצות
חיבור מטריצות וכפל בסקלר
- תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]
- נגדיר את [math]\displaystyle{ A+B\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij} }[/math]
- נגדיר את [math]\displaystyle{ \alpha A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [\alpha A]_{ij} = \alpha [A]_{ij} }[/math]
כפל מטריצות
- [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n }[/math]
- [math]\displaystyle{ \prod_{k=1}^n a_k = a_1\cdot a_2\cdots a_n }[/math]
- תהיינה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m},B\in\mathbb{F}^{m\times k} }[/math]
- נגדיר את המכפלה [math]\displaystyle{ AB\in\mathbb{F}^{n\times k} }[/math] על ידי
- [math]\displaystyle{ [AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pj} }[/math]
- הוקטור [math]\displaystyle{ \vec{x} }[/math] הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים [math]\displaystyle{ A }[/math] ווקטור הקבועים [math]\displaystyle{ \vec{b} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ A\cdot \vec{x}=\vec{b} }[/math]
שיטות לחישוב כפל מטריצות
- חישוב הכפל לפי עמודות
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} | & & |\\ v_1 & \cdots & v_n \\ | & & |\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n }[/math]
- [math]\displaystyle{ C_i(AB)=AC_i(B) }[/math]
- חישוב הכפל לפי שורות
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - & v_1 & - \\ & \vdots & \\ - & v_n & - \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n }[/math]
- [math]\displaystyle{ R_i(AB)=R_i(A)B }[/math]
תכונות של אלגברת מטריצות
- [math]\displaystyle{ A(B+C)=AB+AC }[/math] וכן [math]\displaystyle{ (A+B)C=AC+BC }[/math]
- [math]\displaystyle{ \alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B }[/math]
- מטריצת היחידה [math]\displaystyle{ I_n\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ [I_n]_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases} }[/math]
- לכל [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ I_n\cdot A=A\cdot I_m =A }[/math]
- לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
- [math]\displaystyle{ (AB)C=A(BC) }[/math]
פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית
- פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית
שחלוף
- עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] נגדיר את המטריצה המשוחלפת [math]\displaystyle{ A^t\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [A^t]_{ij}=[A]_{ji} }[/math]
- [math]\displaystyle{ R_i(A^t)=C_i^t(A) }[/math]
- [math]\displaystyle{ C_i(A^t)=R_i^t(A) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (A^t)^t=A }[/math]
- [math]\displaystyle{ (A+B)^t = A^t+B^t }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\alpha A)^t = \alpha A^t }[/math]
- [math]\displaystyle{ (AB)^t=B^tA^t }[/math]
עקבה
- העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
- עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii} }[/math]
- תכונות העקבה:
- [math]\displaystyle{ tr(A+B)=tr(A)+tr(B) }[/math]
- [math]\displaystyle{ tr(\alpha A)=\alpha tr(A) }[/math]
- [math]\displaystyle{ tr(AB)=tr(BA) }[/math]
- דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשייות [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ AB-BA=I }[/math]
- [math]\displaystyle{ tr(AB-BA)=0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ tr(I)=n\neq 0 }[/math]
תרגול
מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות
- מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות [math]\displaystyle{ B,C\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ AB=I_n }[/math] וכן [math]\displaystyle{ CA=I_m }[/math]
- אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] ונקרא לה ההופכית של [math]\displaystyle{ A }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ AA^{-1}=I }[/math]. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת [math]\displaystyle{ A^{-1}A=I }[/math].
- תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, אזי למערכת המשוואות [math]\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b} }[/math] יש פתרון יחיד, והוא [math]\displaystyle{ \vec{x}=A^{-1}\vec{b} }[/math]
- תהיינה [math]\displaystyle{ A,B }[/math] הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל [math]\displaystyle{ AB }[/math] מוגדר, אזי [math]\displaystyle{ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ (A^{-1})^{-1}=A }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\neq 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ (\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1} }[/math]
מטריצות פעולה
- תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
- לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] נגדיר את מטריצת הפעולה [math]\displaystyle{ f(I_n) }[/math].
- לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f(I_m)\cdot A = f(A) }[/math]
- מטריצת הפעולה היא הפיכה.
- לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P\in\mathbb{F}^{m\times m} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ P\cdot A=CF(A) }[/math]
בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית
- מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם [math]\displaystyle{ B\neq 0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ AB=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ BA=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה
- אם ב[math]\displaystyle{ A }[/math] השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל [math]\displaystyle{ B }[/math] כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב[math]\displaystyle{ AB }[/math] היא שורת אפסים.
- ב[math]\displaystyle{ BA }[/math] לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
- מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
- מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.
- מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ CF(A)=I }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] ריבועיות כך ש[math]\displaystyle{ AB=I }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A^{-1}=B }[/math]
- תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ריבועיות אזי [math]\displaystyle{ AB }[/math] הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] הפיכות שתיהן
- דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} }[/math]
אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית
- תהי מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]
- נדרג את מטריצת הבלוקים [math]\displaystyle{ (A|I) }[/math] קנונית.
- אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של [math]\displaystyle{ A }[/math] יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
- אחרת, הצורה הקנונית של [math]\displaystyle{ A }[/math] היא [math]\displaystyle{ I }[/math] ולכן היא הפיכה.
- הגענו למטריצת הבלוקים [math]\displaystyle{ (I|A^{-1}) }[/math].
תרגול
תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה
פרק 4 - מרחבים וקטוריים
הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים
- מרחב וקטורי [math]\displaystyle{ V }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות: [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V }[/math]
- חילופיות: [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w=w+u }[/math]
- אסוציאטיביות (קיבוץ): [math]\displaystyle{ \forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v }[/math]
- נייטרלי לחיבור: [math]\displaystyle{ \exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v }[/math]
- נגדיים: [math]\displaystyle{ \forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V }[/math]
- נייטרלי לכפל בסקלר: [math]\displaystyle{ \forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v }[/math]
- דיסטריביוטיביות (פילוג): [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w }[/math]
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F},u\in V }[/math] אזי:
- [math]\displaystyle{ \alpha u = 0_V }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \alpha=0_\mathbb{F} }[/math] או [math]\displaystyle{ u=0_V }[/math]
- כמו כן, [math]\displaystyle{ (-1_\mathbb{F})u=-u }[/math]
תתי מרחבים
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת קבוצה של וקטורים.
- אזי [math]\displaystyle{ U }[/math] נקרא תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math] אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של [math]\displaystyle{ V }[/math].
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת קבוצה של וקטורים.
- אזי [math]\displaystyle{ U }[/math] תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- [math]\displaystyle{ 0_V\in U }[/math]
- לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in U }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ v_1+\alpha v_2\in U }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ N(A)\subseteq\mathbb{F}^n }[/math] הינה תת מרחב וקטורי.
- קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.
- אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.
- אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.
חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math], תתי מרחב.
- [math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] הינו תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math].
- [math]\displaystyle{ U\cup W }[/math] תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ U\subseteq W }[/math] או [math]\displaystyle{ W\subseteq U }[/math].
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math], תתי מרחב.
- נגדיר את סכום תתי המרחבים:
- [math]\displaystyle{ U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ U+W }[/math] הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את [math]\displaystyle{ U,W }[/math]. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
- לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ U,W\subseteq T }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ U,W\subseteq U+W\subseteq T }[/math]
- [math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב[math]\displaystyle{ U,W }[/math]. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
- לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ T\subseteq U,W }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ T\subseteq U\cap W\subseteq U,W }[/math]
- דוגמא:
- [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ U+W=V }[/math]
- ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
- [math]\displaystyle{ (4,4,4)=(0,2,2)+(4,2,2)=(1,2,3)+(3,2,1) }[/math]
- סכום ישר:
- יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש [math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- [math]\displaystyle{ V=U+W }[/math]
- [math]\displaystyle{ U\cap W =\{0_V\} }[/math]
- משפט:
- [math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] אם ורק אם לכל וקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] קיימת הצגה יחידה [math]\displaystyle{ v=u+w }[/math] כסכום של רכיבים מU ומW.
- כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.
תרגול
פרישה ותלות לינארית
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math].
- וקטור [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] נקרא צירוף לינארי של הקבוצה [math]\displaystyle{ S }[/math] אם [math]\displaystyle{ x=0_V }[/math] או קיימים וקטורים בקבוצה [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in S }[/math] וסקלרים מהשדה [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]
- כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
- אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא [math]\displaystyle{ span(S) }[/math].
- טענה: יהי V מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] אזי [math]\displaystyle{ span(S) }[/math] הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את [math]\displaystyle{ S }[/math]. כלומר:
- [math]\displaystyle{ span(S) }[/math] תת מרחב וקטורי
- לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ T }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ S\subseteq T }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ S\subseteq span(S)\subseteq T }[/math]
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי n-ית וקטורים [math]\displaystyle{ (v_1,...,v_n)\in V^n }[/math]. אומרים שהוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] (לאו דווקא שונים) תלויים לינארית או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] לא כולם אפס כך שהצירוף הלינארי מתאפס [math]\displaystyle{ a_1v_1 +...+a_nv_n=0_V }[/math].
- אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם בלתי תלויים לינארית או בת"ל בקיצור.
- קבוצה [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] נקראת תלוייה לינארית אם קיימים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in S }[/math] וקטורים שונים שתלויים לינארית.
- יהיו [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in\mathbb{F}^n }[/math].
- הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה [math]\displaystyle{ x_1v_1+...+x_kv_k=0_V }[/math] הוא שכל הסקלרים הם אפסים.
- בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות [math]\displaystyle{ x_1v_1+...+x_kv_k=\begin{pmatrix}| & & | \\ v_1 & \cdots & v_k\\| & & |\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_k\end{pmatrix} }[/math]
- לכן אם נשים את הוקטורים בעמודות מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש פתרון יחיד כלומר [math]\displaystyle{ N(A)=\{0_v\} }[/math]
- באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם [math]\displaystyle{ v\in span\{v_1,...,v_k\} }[/math]:
- נשים את הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k }[/math] בעמודות מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים.
- הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון.
בסיס ומימד
- לֶמת ההחלפה של שטייניץ
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהיינה [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] בת"ל וכן [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]).
- אזי לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] קיים [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b\notin A\setminus \{a\} }[/math] וגם הקבוצה [math]\displaystyle{ (A\setminus \{a\})\cup \{b\} }[/math] בת"ל.
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] קבוצה פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]) כך ש [math]\displaystyle{ |B|=n }[/math] (כלומר יש בה n וקטורים).
- תהי בנוסף [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] קבוצה בת"ל, אזי [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math] (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת).
- הגדרת בסיס:
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] קבוצת וקטורים.
- אם [math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר [math]\displaystyle{ sp(S)=V }[/math]) אזי היא נקראת בסיס למרחב [math]\displaystyle{ V }[/math].
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] שפורשת את כל המרחב [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]).
- אזי קיים לו בסיס סופי.
- כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים.
- כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות המימד של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים [math]\displaystyle{ dim(V)=|B| }[/math].
- כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד.
משפט השלישי חינם
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math].
- אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו[math]\displaystyle{ S }[/math] מהווה בסיס למרחב [math]\displaystyle{ V }[/math].
- [math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל
- [math]\displaystyle{ S }[/math] פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(S)=V }[/math])
- [math]\displaystyle{ |S|=n }[/math] (כלומר כמות הוקטורים ב[math]\displaystyle{ S }[/math] שווה למימד)
- יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת מרחב.
- אם [math]\displaystyle{ \dim (U)=\dim (V) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ U=V }[/math]
תרגול
משפט המימדים
[math]\displaystyle{ sp(A\cup B) = sp(A)+sp(B) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \dim (U+W) = \dim(U)+\dim(W) - \dim(U\cap W) }[/math]
תרגול
הצגה פרמטרית ואלגברית
שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים
- תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ R(A)=sp\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq \mathbb{F}^n }[/math]
- [math]\displaystyle{ C(A)=sp\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq \mathbb{F}^m }[/math]
- [math]\displaystyle{ N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq \mathbb{F}^n }[/math]
- [math]\displaystyle{ R(AB)\subseteq R(B) }[/math]
- [math]\displaystyle{ C(AB)\subseteq C(A) }[/math]
תרגול
דרגה של מטריצה
פרק 5 - העתקות לינאריות
העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות
- יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
- פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] נקראת העתקה לינארית אם לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] היא מקיימת:
- [math]\displaystyle{ T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1 }[/math]
- שימו לב לסימון [math]\displaystyle{ Tv_1=T(v_1) }[/math]
פעולות בין העתקות לינאריות
- הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
- סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
- הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית
גרעין ותמונה
- תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית
- הגרעין [math]\displaystyle{ \ker T=\{v\in V|Tv=0_W\} }[/math] הוא תת מרחב של התחום [math]\displaystyle{ V }[/math]
- התמונה [math]\displaystyle{ Im T=\{Tv|v\in V\}=\{w\in W|\exists v\in V:Tv=w\} }[/math] היא תת מרחב של הטווח [math]\displaystyle{ W }[/math]
- ההעתקה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] חח"ע אם ורק אם [math]\displaystyle{ \dim\ker T=0 }[/math]
- ההעתקה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] על אם ורק אם [math]\displaystyle{ \dim Im T = \dim W }[/math]
משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות
- תהי העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס לV.
- אזי [math]\displaystyle{ Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\} }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית אזי [math]\displaystyle{ \dim \ker T +\dim Im T = \dim V }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \dim N(A) + rank(A)=n }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.
- אם T חח"ע אז [math]\displaystyle{ \dim V\leq \dim W }[/math]
- אם T על אזי [math]\displaystyle{ \dim V \geq \dim W }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ \dim V = \dim W }[/math] אזי T חח"ע אם"ם T על.
- העתקה לינארית נקראת גם הומומורפיזם. העתקה לינארית הפיכה נקראת איזומורפיזם.
- מרחבים וקטוריים נקראים איזומורפייים זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות).
- מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים.
תרגול
יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה
- יהי V מ"ו ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
- אזי לכל [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
- [math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]
- יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
- תהיינה סדרת וקטורים [math]\displaystyle{ w_1,...,w_n\in W }[/math] לאו דווקא שונים.
- אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת:
- לכל i מתקיים כי [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math]
מטריצה מייצגת העתקה
קואורדינטות
- יהי V מ"ו ויהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
- לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] נגדיר את וקטור הקואורדינטות לפי B להיות הסקלים מההצגה היחידה:
- [math]\displaystyle{ [v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n }[/math]
- מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס!
- נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to \mathbb{F}^n }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ Tv=[v]_B }[/math], אזי T היא איזומורפיזם. לכן
- [math]\displaystyle{ [a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B }[/math]
- הסדרה [math]\displaystyle{ u_1,...,u_k\in V }[/math] בת"ל אם ורק אם הסדרה [math]\displaystyle{ [u_1]_B,...,[u_k]_B }[/math] בת"ל
- [math]\displaystyle{ v\in span\{u_1,...,u_k\} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ [v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\} }[/math]
משפט קיום ויחידות
- יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
- נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
- נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
- תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית.
- אזי:
- קיימת מטריצה יחידה [math]\displaystyle{ [T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] המקיימת:
- לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ [T]_C^B[v]_B=[Tv]_C }[/math]
- על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:
- נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.
- נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.
- נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת.
- [math]\displaystyle{ [T]_C^B= \begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math]
המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית
- יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו ממימד סופי מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם בסיסים [math]\displaystyle{ B,C }[/math] בהתאמה.
- תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית, ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]
- אזי
- [math]\displaystyle{ [T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C }[/math]
- [math]\displaystyle{ [\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C }[/math]
- [math]\displaystyle{ [S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B }[/math]
- ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת [math]\displaystyle{ [T]^B_C }[/math] הפיכה
- אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי [math]\displaystyle{ [T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1} }[/math]
מטריצות מעבר בין בסיסים
- [math]\displaystyle{ [I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C }[/math]
שלוש צורות הצגת ההעתקה
- ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
- נוסחא מפורשת
- לפי בסיס
- בעזרת מטריצה מייצגת
תרגול
- תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים
- תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות
- תרגול נוסף בנושא העתקות