אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/31.7.12
את נושא הקירוב לווקטורים לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/31.7.12. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
תהליך גרם־שמידט (Gram-Schmidt)
התהליך מייצר קבוצה אורתוגונלית/אורתונורמלית מקבוצה בת״ל כך שהן פורסות את אותו המרחב.
השלבים, ללא נרמול:
...
דוגמה
נתון בסיס כאשר
. ניצור באמצעותם בסיס אורתוגונלי:{{left|
. נסים לב שהכפלנו כמה מהווקטורים בסקלר (14,5), מה שכמובן לא פגע באורתונורמליות.
קיבלנו מערכת אורתונורמלית .
דוגמה נוספת
נתון מרחב פולינומים![P_n[x]](/images/math/9/6/7/967b23d5681e09247109d9acce668c46.png)
![B=\left\{1,x,x^2,\dots,x^n\right\}](/images/math/9/0/d/90d7e0bc412686c99174e820130f6936.png)
![\langle p,q\rangle=\int\limits_{-1}^1 p(x)q(x)\mathrm dx](/images/math/d/7/b/d7b53d5fbddf26d4f356f6b9fd88238a.png)
![\begin{align}p_0(x)=1\\p_1(x)=x-0=x&\langle x,p_0(x)\rangle=\int\limits_{-1}^1x\mathrm dx=0\\p_2(x)=x^2-0-\frac{2/3}2\cdot1=\frac{3x^2-1}3&\langle x^2,p_0\rangle=\frac23,\langle x^2,p_1\rangle=0,\langle p_0,p_0\rangle=2\\p_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\p_4(x)=\frac{35x^4-30x^2+3}8\\\vdots\end{align}](/images/math/5/e/1/5e13f7d77e4e340b914729165b2d17e8.png)
הערה: בסופו של התהליך מתקבלת סדרה של פולינומים אורתוגונליים הנקראים פולינומי לג׳נדר.
מתקיים . בנוסף, קיימת נוסחה רקורסיבית
.
![\langle p,q\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{p(x)q(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx](/images/math/8/5/3/8532e0e95f1529c46e7f2f6fd859b2d2.png)
![\begin{align}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\T_4(x)=8x^4-8x^2+1\\T_5(x)=16x^5-20x^3+5x\end{align}](/images/math/5/1/3/5134a23e7c5729f0a925477cf806d6d6.png)
קיימת נוסחת רודריגז: . נוסחה רקורסיבית:
. מתקיים
.
פולינומי לגר (Laguerre) נוצרים מ־. נוסחתם הרקורסיבית:
פולינומי הרמיט (Hermite): ו־
.
הערה: פולינומי לגר והרמיט לא יופיע במבחן.
תרגיל
מצא בסיס אורתונורמלי מהבסיס הבא:
בקטע
בקרה של המכפלה הפנימית הסטנדרטית:
.
פתרון
ולכן
.
. עתה
. לכן
.
. ננרמל:
ולכן
תרגיל
מצא קירוב ל־ בעזרת 3 פולינומי לג׳נדר הראשונים בקטע
.
פתרון
הקירוב מקיים![\tilde f(x)=a_0 P_0(x)+a_1 P_1(x)+a_2 P_2(x)](/images/math/2/1/3/2135e8217d9990465747e431290a89b2.png)
![a_k=\frac{\langle f,P_k\rangle}{\langle P_k,P_k\rangle}=\frac{2k+1}2\langle f,P_k\rangle](/images/math/d/b/f/dbf29187799b0917d87b5117bf45e4d2.png)
![\begin{align}a_0=\frac12\int\limits_{-1}^1\left(1-x^4\right)\mathrm dx=\frac45\\a_1=\frac32\int\limits_{-1}^1\left(1-x^4\right)x\mathrm dx=0\\a_2=\frac52\int\limits_{-1}^1\left(1-x^4\right)\frac{3x^2-1}2\mathrm dx=-\frac47\end{align}](/images/math/f/6/5/f651527bbbb8d76b73c046e2f2c07ea5.png)
לכן .
תרגיל
מצא קירוב ל־ באמצעות 3 פולינומי לג׳נדר הראשונים בקטע
.
פתרון
דרך א: לחשב את פולינומי לג׳נדר בקטע ולפתור כרגיל.
![[0,2]\to[-1,1]](/images/math/3/3/b/33b1312edb149f654647dad18127c1bf.png)
![x\mapsto x-1](/images/math/6/f/c/6fcb9d1eb3676f2e40526a14020f0300.png)
![t=x-1](/images/math/8/9/8/898fb4f6cd9605ba8ab82d13ae0531e1.png)
![g(t)=\sqrt{2t+5}=f(t+1)=f(x)](/images/math/1/e/1/1e123a04f5d0aece2b0d633430df0d1d.png)
![[-1,1]](/images/math/d/0/6/d060b17b29e0dae91a1cac23ea62281a.png)
![f](/images/math/8/f/a/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png)
![[0,2]](/images/math/7/0/f/70fd3f388413505934da60b43afc4088.png)
![\begin{align}a_0=\frac12\int\limits_{-1}^11\sqrt{2t+5}\mathrm dt\approx2.2207\\a_1=\frac32\int\limits_{-1}^1 t\sqrt{2t+5}\mathrm dt\approx0.45\\a_2=\frac52\int\limits_{-1}^1\sqrt{2t+5}\frac{3t^2-1}2\mathrm dt\approx0.0314\end{align}](/images/math/2/d/d/2dde470531c8c739eb256b5092b7c550.png)
לכן נציב
ולכן
.
הקדמה לשיעור הבא
נדון במכפלה הפנימית ונבדוק שהמערכת הבאה אורתונורמלית
.