מדר קיץ תשעב/סיכומים/תרגולים/2.8.12
נרצה לבדוק מתי . מובן ש־
. תנאי הכרחי לפרידות:
.
תוכן עניינים
תרגיל ממבחן
מועד א תש״ע, ד״ר ראובן כהן, שאלה 7
נתונה המשוואה .
- מצאו פתרונות סינגולריים ורגולרים.
- מצא כל פתרונות המשוואה עבור תנאי ההתחלה
.
פתרון
- נוציא גורם משותף:
. שתי אפשרויות:
או
. במד״ר השנייה, נבדוק אם מדוייקת:
, כלומר אינה מדוייקת.
תלוי בשני המשתנים, בעוד ש־
, ולכן נחפש גורם אינטגרציה מהצורה
. נרצה ש־
ולכן
, כלומר
, אזי
, לבסוף
. נכפול זאת במד״ר ונקבל
. נחפש פוקנציית פוטנציאל
: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \patrtial לא מוכרת): \frac{\patrtial U}{\partial x}=2xy-3x^2\\\frac{\partial U}{\partial y}=x^2
. נחשב ונמצא , נגזור לפי
ואז
ולכן
. נקח
ואז
, עקומת הרמה היא
, כלומר
. לסיכום, הפתרונות הם
רגולרי ו־
סינגולרי.
- נדרוש תנאי התחלה
. פתרון אחד הוא
, וגם הפתרון
עונה על הבעיה.
משוואות ריקטי
, פולינום ריבועי ב־
. אין נוסחה לפתרון כללי, אך אם הזגנו פתרון פרטי
אזי ההצבה
תביא אותנו למשוואות ברנולי עבור
.
תרגיל ממבחן
לוזון
פתרו .
פתרון
נשים לב שזו משוואת ריקטי עם . קל לראות כי
פתרון. לכן נפתור
, כלומר
. נציב במד״ר המקורית ונגלה ש־
. עתה
ונסיק
. אזי
, נחזור ל־
:
. הערה: קודם הנחנו ש־
. ניתן להגיע אליו ע״י
בפתרון הרגולרי.
מד״ר מסדר גבוה
. נצפה ל־
קבועים חופשיים
.
מקרה: אינטגרציה נשנית/חוזרת: . תרגיל:
אזי
, לכן
ולבסוף
.
מד״ר מסדר 2
.
מקרים מיוחדים
-
חסר
![y](/images/math/4/1/5/415290769594460e2e485922904f345d.png)
![y''=f(x,y')](/images/math/4/d/6/4d6c409e6b93ad63c8df40b38df47562.png)
![z=y'](/images/math/8/9/e/89e7711af307141a10f830060af47f1a.png)
![y''=z'](/images/math/6/c/d/6cd54c3892ca85a7b1772fcd392a9fea.png)
![z'=f(x,z)](/images/math/f/b/5/fb5af4cefd1cb672fe93c183b15897b1.png)
תרגיל
פתרו את בעיית קושי .
פתרון
חסר, לכן נציב
ונקבל
. נעביר לצורה
, נחלק ב־
ונקבל
. הפתרון הוא
. נפעיל אינטגרציה לפי
ונמצא ש־
. נדרוש את קיום תנאי ההתחלה:
. לסיכום, הפתרון הוא
.
חסר ,
. נציב
ואז
. המד״ר נהיית
.
תרגיל ממבחן
מועד א תש״ע, ד״ר ראובן כהן, שאלה 4
פתרו .
פתרון
זו מד״ר מסדר 2 ו־ אינו מופיע בה. נציב
והמד״ר היא
. קיימים הפתרונות
, אחרת
. מכאן ש־
, לכן
. נעביר אגפים ונקבל
. לפיכן
. נציב בחזרה את
:
ואז
. נציב
, אזי
ונקבל
. עתה
.
דרך נוספת: . נשים לב ש־
והמד״ר היא
. עתה
, מאינטגרציה נקבל
. אינטגרציה חוזרת:
ואז
לכן
.
מערכת של מד״ר מסדר ראשון
. עדיין יש משתנה בלתי תלוי אחד
, אך
מכיל
משתנים תלויים בו. אלו פונקציות לא ידועות שיש למצוא.
תרגיל
הוכיחו שהפוקנציה הווקטורית עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \vec
………
פתרון
נציב במערכת ואז
כדרוש וכן
, שוב כדרוש.
משפט
כל מד״ר מסדר ניתן להביא למערכת של
מד״ר מסדר ראשון.
תרגיל
הבא את בעיית קושי (מסדר 2) לצורה של מערכת של שתי מד״ר מסדר ראשון. .
פתרון
נגדיר שני משתנים חדשים ו־
. אזי
. המד״ר היא
ולכן
. בצורה מטריציונית: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0&1\\-\frac12&\frac52\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{cases}
. תנאי ההתחלה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{cases}(\pi)=\begin{pmatrix}1\\\sqrt2\end{cases}
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)