קוד:היחס בין הריבויים של ערך עצמי

מתוך Math-Wiki
הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

כעת ננסה להבין מה היחס בין הריבויים של ע"ע, האלגברי והגיאומטרי. הכוונה - האם הם שווים, ואם לא - מי גדול יותר.

\begin{thm}

לכל $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$, מתקיים $1\leq m_\lambda\leq k_\lambda\leq n$.

\end{thm}

\begin{proof}

נתבונן ב-$V_\lambda\left(T \right )$, ונסמן $m=m_\lambda=\dim V_\lambda\left(T \right )$. נבחר בסיס $\left \{ v_1,\dots,v_m \right \}$ של $V_\lambda\left(T \right )$. אם $m<n$, נשלים את הבסיס הזה לבסיס $B$ של $V$: $\left \{ v_1,\dots,v_m,v_{m+1},\dots,v_n \right \}$. תהי $A=\left[T\right]_B$. מתקיים: $$T\left(v_1\right)=\lambda v_1,\cdots,T\left(v_m \right )=\lambda v_m,T\left(v_m+1 \right )=?,\cdots,T\left(v_n \right )=?$$ אם כן, המטריצה $A$ הינה מהצורה $$A=\left( \begin{array}{c|c} \begin{matrix} \lambda & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & \lambda \end{matrix} & A_2\\ \hline 0 & A_1 \end{array}\right)$$

נסתכל על הפולינום האופייני של $T$: $$p_T\left(x \right )=p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A\right)=\det\left( \begin{array}{c|c} \begin{matrix} x-\lambda & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & x-\lambda \end{matrix} & -A_2\\ \hline 0 & xI-A_1 \end{array}\right)=$$ $$=\det\left( \begin{matrix} x-\lambda & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & x-\lambda \end{matrix}\right )\det\left(xI-A \right )=\left(x-\lambda \right )^mg\left(x \right )$$ אם כן, $k_\lambda\ge m=m_\lambda$.

\end{proof}

\begin{remark}

יש מקרים שבהם $m_\lambda<k_\lambda$. למשל - בלוק ז'ורדן; עבור $J_n\left(\lambda\right)$, ראינו כי $m_\lambda=1$, אבל $k_\lambda=n$.

\end{remark}

בהמשך ננסה להבין מתי לכל ע"ע הריבויים שווים, ונגלה כי הם שווים אם ורק אם המטריצה לכסינה.