הבדלים בין גרסאות בדף "חדוא 1 - ארז שיינר"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(כלים לחישוב גבולות)
(משפטי סנדביץ')
שורה 172: שורה 172:
  
  
 
+
<videoflash>AVvOiLm5COA</videoflash>
  
 
===מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===
 
===מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)===

גרסה מ־16:48, 23 באוקטובר 2020

88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1

מבחנים ופתרונות

סרטוני ותקציר ההרצאות

פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א


פרק 1 - מספרים וחסמים

קבוצות מספרים

  • הטבעיים \mathbb{N}=\{1,2,3,...\}
  • השלמים \mathbb{Z}=\{0,-1,1,-2,2,...\}
  • הרציונאליים \mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}|p\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}
  • הממשיים \mathbb{R}, כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים




  • לא קיים x\in\mathbb{Q} כך ש x^2=2.
  • במילים פשוטות, \sqrt{2} אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).



חזקות ולוגריתמים

  • לכל מספר ממשי x\in\mathbb{R} ולכל מספר טבעי n\in\mathbb{N} נגדיר x^n=x\cdots x כפל n פעמים
  • לכל מספר ממשי אי שלילי 0\leq x\in\mathbb{R} ולכל מספר טבעי n\in\mathbb{N} נגדיר x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x} כלומר המספר האי שלילי שבחזקת n שווה לx.
  • לכל מספר ממשי אי שלילי 0\leq x\in\mathbb{R} ולכל זוג מספרים טבעיים n,k\in\mathbb{N} נגדיר x^{\frac{n}{k}}=\sqrt[k]{x^n}
  • לכל מספר ממשי x\in\mathbb{R} נגדיר x^0=1


  • מה לגבי חזקות ממשיות אי רציונליות?
  • נגדיר אותן באמצעות גבול של חזקות רציונאליות


  • לכל מספר ממשי x\in\mathbb{R} ולכל חזקה ממשית שלילית -a<0 נגדיר x^{-a}=\frac{1}{x^a}



  • לכל 0<a\neq 1 נגדיר את log_a(x) להיות המספר שa בחזקתו שווה לx.
  • חוקי לוגים:
    • log_a(x)+log_a(y)=log_a(xy)
    • log_a(x^y)=y log_a(x)
    • \log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}

חסמים

  • תהי A\subseteq \mathbb{R} אזי:
    • M\in\mathbb{A} נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל a\in A מתקיים כי a\leq M
    • M\in\mathbb{R} נקרא חסם מלעיל של A אם לכל a\in A מתקיים כי a\leq M
    • m\in\mathbb{A} נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל a\in A מתקיים כי a\geq m
    • m\in\mathbb{R} נקרא חסם מלרע של A אם לכל a\in A מתקיים כי a\geq m


  • כמו כן:
    • אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן \sup(A)
    • אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן \inf(A)



  • בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
  • בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה A=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\} אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.



  • תהי A\subseteq \mathbb{R} ויהי M\in\mathbb{R} אזי:
    • M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר M-\varepsilon<M קיים מספר a\in A כך ש a>M-\varepsilon
    • m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר m<m+\varepsilon קיים מספר a\in A כך ש a<m+\varepsilon


  • דוגמא: תהיינה \emptyset\neq A,B\subseteq\mathbb{R} חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי \sup(A)\leq\sup(B)



שיטות הוכחה בסיסיות

  • הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'


פרק 2 - סדרות

הגדרת הגבול

  • הגדרת הגבול של סדרה:
  • תהי סדרה ממשית a_n ויהי מספר ממשי L\in\mathbb{R}.
  • L הינו גבול הסדרה a_n (מסומן \lim a_n=L או a_n\to L) אם:
    • לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
    • לכל מרחק \varepsilon>0 קיים מקום N\in\mathbb{N} כך שאחריו לכל n>N מתקיים כי |a_n-L|<\varepsilon



  • נגדיר שa_n\to\infty אם לכל M>0 קיים N\in\mathbb{N} כך שלכל n>N מתקיים כי a_n>M
  • נגדיר שa_n\to -\infty אם -a_n\to\infty


  • טענה: תהי a_n\to \infty אזי \frac{1}{a_n}\to 0
  • טענה: תהי 0\neq a_n\to 0 אזי \frac{1}{|a_n|}\to\infty



  • אם a_n\to L_1 וכן a_n\to L_2 אזי L_1=L_2



  • סדרה המתכנסת לגבול סופי חסומה.



  • a_n\to L \iff a_{n+1}\to L
  • בפרט, כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה.



שאיפה לאפס

  • תהי סדרה a_n ויהי L\in\mathbb{R} אזי a_n\to L אם ורק אם |a_n-L|\to 0
    • בפרט a_n\to 0 אם ורק אם |a_n|\to 0


  • תהיינה a_n,b_n\to 0 אזי גם a_n+b_n\to 0


  • תהי a_n\to 0 ותהי b_n חסומה, אזי a_nb_n\to 0


משפטי סנדביץ'

  • משפט הסנדביץ' -
    • תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי a_n\leq b_n \leq c_n
    • כמו כן, יהי L\in\mathbb{R} כך ש a_n,c_n\to L
    • אזי b_n\to L
  • חצי סנדביץ'-
    • תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי a_n\leq b_n
    • כמו כן נתון כי a_n\to\infty
    • אזי b_n\to \infty
  • חצי סנדביץ' על הרצפה -
    • תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי |a_n|\leq b_n
    • כמו כן נתון כי b_n\to 0
    • אזי a_n\to 0


מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)

  • (אי שיוויון המשולש.)
  • סכום.
  • מכפלה.
  • חלוקה.

מבחן המנה

  • מבחן המנה (הוכחה בסיכום הבא על אי-שוויון הממוצעים).
    • תהי סדרה a_n המקיימת כי גבול המנה הוא \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L אזי:
      • אם 1<L\leq\infty מתקיים כי |a_n|\to\infty
      • אם 0\leq L<1 מתקיים כי a_n\to 0
      • מתקיים כי \sqrt[n]{|a_n|}\to L


  • דוגמא:
    • \sqrt[n]{n}\to 1


אינדוקציה

  • משפט האינדוקציה המתמטית
  • תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
    • הטענה הראשונה נכונה.
    • לכל n\in \mathbb{N} אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
  • אזי כל הטענות בסדרה נכונות


  • אי שיוויון ברנולי: יהי -1<x\in\mathbb{R} אזי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים כי (1+x)^n\geq 1+nx



  • מסקנה לכל a>1 מתקיים כי a^n\to\infty ולכל 0<a<1 מתקיים כי a^n\to 0

חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)

  • אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
    • חסומה כפול אפיסה = אפיסה
    • חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
    • \infty+\infty=\infty
    • \infty\cdot\infty=\infty
    • \infty^\infty=\infty
    • \frac{1}{0}\neq\infty
    • \frac{1}{0^+}=\infty
    • 0^\infty = 0
    • אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
    • אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
    • יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
    • אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
    • אם a>1 אזי a^\infty=\infty
    • חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולות.

המקרים הבעייתיים

  • המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
    • \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty


סדרות מונוטוניות והמספר e

  • כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.
  • המספר e (הוכחות בעזרת אי-שוויון הממוצעים).
  • 2<e<4.
  • אם a_n\to\infty אזי \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e
    • [a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1, כאשר [a_n] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה לa_n.
    • \left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}
    • שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
  • אם a_n\to -\infty אזי \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e
    • ראשית \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e} (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
    • כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.


  • אם a_n\to 1 אזי a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}
    • a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}.
    • \left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e בין אם a_n-1 שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
    • שימו לב שאם a_n=1, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק בa_n-1 ששווה אפס.


  • דוגמא:
    • \lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3


תתי סדרות וגבולות חלקיים

פרק 3 - טורים

פרק 4 - פונקציות ורציפות

מבוא לגבולות

  • מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
    • \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}
    • \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}
    • \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x
    • \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x
    • \lim_{x\to\infty}x^2-x

הגדרת הגבול לפי קושי

הגדרת הגבול לפי היינה

  • מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות
  • אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.
  • מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.

הפונקציות הטריגונומטריות

  • הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
    • sin^2(x)+cos^2(x)=1
    • sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)
    • sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
    • sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)



  • Sin(x) over x.png
    • עבור זוית 0<x<\frac{\pi}{2} שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
    • S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}
    • \frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}
      • כיוון ש0<sin(x)<x בתחום (0,\frac{\pi}{2}), נובע לפי סנדוויץ' ש\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0.
      • כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
      • כעת בתחום (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) הקוסינוס חיובית ולכן cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)} ונובע כי \lim_{x\to 0}cos(x)=1.
    • נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
    • 1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}
    • לפי כלל הסנדביץ \lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1
    • כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.


  • ראינו ש\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1.
  • שימו לב ש\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.

רציפות

  • גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
    • f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0 מתקיים כי \lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0 אבל \lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1.


  • רציפות.
  • הגדרה:
  • פונקציה f נקראית רציפה בקטע [a,b] אם f רציפה בכל נקודה בקטע (a,b) ובנוסף \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a) וגם \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)


  • טענה: אם f רציפה בx_0 אזי לכל סדרה x_n\to x_0 (גם אם אינה שונה מx_0) מתקיים כי f(x_n)\to f(x_0).
  • הרכבת רציפות: תהי f רציפה בx_0 ותהי g רציפה בf(x_0). אזי g\circ f רציפה בx_0.
    • הוכחה:
    • תהי סדרה x_0\neq x_n\to x_0 אזי f(x_n)\to f(x_0)
    • לפי הטענה הקודמת, g(f(x_n))\to g(f(x_0)).


  • מיון אי רציפות.
    • רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
    • סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
    • קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
    • עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.

פרק 5 - גזירות


הגדרת הנגזרת

  • f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
  • \lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
    • הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
    • נניח כי \lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0) ונוכיח כי \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0), והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
    • תהי x_0\neq x_n\to x_0 נגדיר את הסדרה 0\neq h_n=x_n-x_0\to 0.
    • כיוון ש\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0) נובע כי \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0).
  • אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
    • צ"ל \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)
    • לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל \lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0
    • לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי \lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0
  • פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
    • (|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h} וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
    • ניתן לשים לב גם ש|x|=\sqrt{x^2}, וכמו כן נראה בהמשך כי\sqrt{x} אינה גזירה באפס.

הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות

  • טריגו:
    • \lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0
    • (sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)
    • באופן דומה (cos(x))'=-sin(x)
  • לוג:
    • \lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)
      • המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
      • (בפרט נובע כי \lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1.)
    • (log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}
      • בפרט נובע כי (ln(x))' = \frac{1}{x}
  • אקספוננט:
    • \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)
    • (a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)
      • בפרט נובע כי (e^x)'=e^x.
  • חזקה:
    • (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} לכל \alpha\in \mathbb{R}, הוכחה בהמשך.
      • בפרט:
      • (1)'=0
      • (\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}
      • (\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}


תהי f גזירה בx_0 ותהי g הגזירה בf(x_0):

  • (g\circ f)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}
  • תהי סדרה x_0\neq x_n\to x_0.
  • רוצים לומר ש\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{f(x_n)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0).
  • אמנם f(x_n)\to f(x_0) בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע שf(x_n)\neq f(x_0) ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
  • אם יש תת סדרה a_n של x_n עבורה f(a_n)=f(x_0) אזי \frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}=0 ולכן f'(x_0)=0.
  • לכן g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=0.
  • כמו כן, \frac{g(f(a_n))-g(f(x_0))}{a_n-x_0}=0.
  • לכן בכל מקרה קיבלנו כי \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)
  • סה"כ (g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0).


נגזרת של חזקה

  • עבור x>0 מתקיים (x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}
  • דוגמא: חישוב הנגזרת של x^x

נגזרת מנה

תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש g(x)\neq 0:

  • נזכור כי (\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}
  • אזי בנקודה x מתקיים: \left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}


פונקציות הופכיות ונגזרתן

  • פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
    • פונקציה f:[a,b]\to [c,d] הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
    • הפונקציה ההופכית היא f^{-1}:[c,d]\to[a,b] ומתקיים כי f(x)=y אם"ם x=f^{-1}(y)


  • טענה: אם f:[a,b]\to [c,d] רציפה בקטע [a,b], אזי f^{-1}:[c,d]\to[a,b] רציפה בקטע [c,d].
    • הוכחה:
    • תהי y_0\neq y_n\to y_0, צ"ל ש f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)
    • יהי גבול חלקי x_n=f^{-1}(y_n)\to L.
    • אזי f(x_n)=y_n\to y_0.
    • מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים f(x_n)\to f(L).
    • לכן f(L)=y_0 ולכן L=f^{-1}(y_0).


  • טענה: תהי f:[a,b]\to [c,d] הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק' a<x_0<b כך ש f'(x_0)\neq 0.
אזי f^{-1} גזירה בנק' f(x_0) ומתקיים כי
(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)} או בנוסח אחר-
(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
    • הוכחה:
    • (f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}
    • תהי f(x_0)\neq y_n\to f(x_0) ונסמן x_n=f^{-1}(y_n).
    • אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0
    • \frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}


  • דוגמא חשובה:
  • tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R} הפיכה וההופכית שלה נקראית arctan.
  • tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}
  • arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}

פרק 6 - חקירה

משפטי חקירת פונקציות

  • משפט ערך הביניים.
  • תהי f רציפה ב[0,1] כך שf(1)=2, הוכיחו שקיימת נק' c\in [0,1] עבורה f(c)=\frac{1}{c}
    • נעביר אגף ונביט בפונקציה h(x)=f(x)-\frac{1}{x} שצריך למצוא שורש שלה.
    • h(1)>0.
    • \lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty ולכן קיימת נקודה 0<d<1 עבורה h(d)<0.
    • לפי משפט ערך הביניים בקטע [d,1] קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.


  • משפטי ויירשטראס.
    • פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
    • פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.


  • משפט פרמה.
    • אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
    • ההפך אינו נכון.
  • משפט רול.
    • פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בקטע הפתוח.
    • לפולינום יש לכל היותר n שורשים שונים.
  • משפט לגראנז'.
    • פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח מקבלת את השיפוע בין שתי נקודות הקצה בנגזרת בנק' כלשהי.
  • משפט לגראנז' המוכלל.
    • שתי פונקציות רציפות בקטע סגור, גזירות בקטע הפתוח, והנגזרת של האחת אינה מתאפסת. אזי מנת הנגזרות שווה למנת השיפועים בנק' מסויימת.


  • הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
    • ראשית, כיוון שg'(x)\neq 0 בקטע (a,b) נובע לפי רול כי g(a)\neq g(b) ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
    • h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))
    • h(a)=h(b)=0 ולכן לפי רול קיימת נק' c\in (a,b) עבורה h'(c)=0 וזה מה שרצינו להוכיח.
    • (שימו לב שמותר לחלק בg'(c).)
    • עבור g(x)=x נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.

קשר בין הנגזרת לפונקציה

  • פונקציה גזירה עולה אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס.
  • פונקציה עולה ממש אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס, ולא מתאפסת על קטע.


כלל לופיטל

  • כלל לופיטל (הוכחה לאפס חלקי אפס בנקודה סופית).
  • כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.