הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל מסויים"

גרסה אחרונה מ־15:21, 12 בפברואר 2017

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 דוגמאות
- 2.1 פונקצית דיריכלה
- 2.2 פונקצית רימאן
3 חישוב האינטגרל המסוים

הגדרה

תהי $f$ פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע $(a,b)$ . אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של $f$ בקטע:

הגדרה לפי דארבו: אם גבול סכומי דארבו התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דארבו העליונים אזי הפונקציה $f$ אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דארבו.
הגדרה לפי רימאן: אם גבול סכומי רימאן קיים אזי $f$ אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימאן.

דוגמאות

פונקצית דיריכלה

הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע $[0,1]$ :

D(x)=\begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases}

הוכחה.

כיון שבכל חלוקה ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

m_k=\inf\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=0

M_k=\sup\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=1

ולכן כל סכום דארבו תחתון שווה

\sum_k0\cdot\Delta_k=0

וכמו כן כל סכום דארבו עליון שווה

\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1

שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.

אם כך, גבול סכומי דארבו התחתונים הנו $0$ והוא שונה מגבול סכומי דארבו העליונים שהוא $1$ , ולכן הפונקציה אינה אינטגרבילית בקטע.

פונקצית רימאן

הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע $[0,1]$ , וכי מתקיים $\displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0$

R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}

כאשר $\frac{p}{q}$ הוא השבר המצומצם של $x$ .

הוכחה.

באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דארבו התחתונים הוא $0$ . לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא $0$ .

יהי $\epsilon>0$ . צריך למצוא $\delta>0$ כך שלכל חלוקה עם פרמטר חלוקה קטן מ- $\delta$ , מתקיים שמרחק סכום הדארבו העליון שלה מ- $0$ קטן מ- $\epsilon$ .

כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו $0$ , צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדארבו העליון קטן מ- $\epsilon$ .

כעת נראה כי לכל מספר טבעי $q$ מספר הנקודות בקטע בהן $R(x)\ge\frac1{q}$ הוא סופי, ונסמן מספר זה ב- $n_q$ .

אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן $1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q}$ (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

כעת, בהנתן חלוקה $P$ כלשהי, לכל היותר $n_q$ קטעים מכילים נקודות בהן $R\ge\frac1{q}$ , ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר $1$ כפול אורך הקטע.

בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי $\frac1{q}$ .

לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:

\overline{S}(R,P)\le\frac1{q}\cdot\Big|[0,1]\Big|+n_q\cdot\lambda(P)

כאשר $\lambda(P)$ הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.

בסה"כ, נבחר q כך ש:

\frac1{q}<\frac{\epsilon}{2}

ולאחר מכן נבחר $\delta$ כך ש:

n_q\delta<\frac{\epsilon}{2}

וכך קיבלנו את שרצינו. $\blacksquare$

חישוב האינטגרל המסוים

קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש בנוסחת ניוטון-לייבניץ.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קטגוריה:אינפי]]
 ==הגדרה==
-תהי f פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסויים של f בקטע:
+תהי <math>f</math> פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math> . אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של <math>f</math> בקטע:
-*הגדרה לפי '''דרבו''': אם גבול [[סכום דרבו|סכומי דרבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו העליונים אזי הפונקציה f '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסויים בקטע שווה לגבול סכומי הדרבו
+*הגדרה לפי '''דארבו''': אם גבול [[סכום דרבו|סכומי דארבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דארבו העליונים אזי הפונקציה <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דארבו.
-*הגדרה לפי '''רימן''': אם גבול [[סכום רימן|סכומי רימן]] קיים אזי f '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסויים בקטע שווה לגבול סכומי הרימן
+*הגדרה לפי '''רימאן''': אם גבול [[סכום רימן|סכומי רימאן]] קיים אזי <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימאן.
 ==דוגמאות==
 ===פונקצית דיריכלה===
-הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>:
+הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> :
-::<math>D(x)=\begin{cases} 1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math>
+:<math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>
-'''הוכחה.'''
+;הוכחה.
-כיוון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי רציונאלית, מתקיים לכל קטע:
+כיון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:
-::<math>m_k=\inf\{D(x)|x_{k-1}\leq x\leq x_k\}=0</math>
+:<math>m_k=\inf\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=0</math>
-::<math>M_k=\sup\{D(x)|x_{k-1}\leq x\leq x_k\}=1</math>
+:<math>M_k=\sup\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=1</math>
+ולכן '''כל''' [[סכום דרבו|סכום דארבו]] תחתון שווה
+:<math>\sum_k0\cdot\Delta_k=0</math>
-ולכן '''כל''' [[סכום דרבו]] תחתון שווה
+וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו|סכום דארבו]] עליון שווה
-::<math>\sum_k0\cdot\Delta_k =0</math>
+:<math>\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1</math>
-וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו]] עליון שווה
+שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.
-::<math>\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=|[0,1]|=1-0=1</math>
-שכן סכום אורכי כל תתי הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.
+אם כך, גבול סכומי דארבו התחתונים הנו <math>0</math> והוא שונה מגבול סכומי דארבו העליונים שהוא <math>1</math>, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.
-אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים הינו אפס והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא 1, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.
+===פונקצית רימאן===
+הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> , וכי מתקיים <math>\displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0</math>
-===פונקצית רימן===
+:<math>R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>
-הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>, וכי מתקיים <math>\int_0^1R(x)dx=0</math>
+כאשר <math>\frac{p}{q}</math> הוא '''השבר המצומצם''' של <math>x</math>.
-::<math>R(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math>
+;הוכחה.
+באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דארבו התחתונים הוא <math>0</math>. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא <math>0</math>.
-כאשר <math>\frac{p}{q}</math> הוא '''השבר המצומצם''' של x.
+יהי <math>\epsilon>0</math> . צריך למצוא <math>\delta>0</math> כך ש'''לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה|פרמטר חלוקה]] קטן מ- <math>\delta</math> , מתקיים שמרחק סכום הדארבו העליון שלה מ- <math>0</math> קטן מ- <math>\epsilon</math> .
-'''הוכחה.'''
+כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו <math>0</math> , צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדארבו העליון קטן מ- <math>\epsilon</math> .
-באופן דומה לתרגיל על פונקציה דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי הדרבו התחתונים הוא אפס. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים הוא אפס גם כן.
-יהי אפסילון גדול מאפס. צריך למצוא דלתא גדול מאפס כך ש'''לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה|פרמטר חלוקה]] קטן מדלתא, מתקיים שמרחק סכום הדרבו העליון שלה מאפס קטן מאפסילון.
+כעת נראה כי לכל מספר טבעי <math>q</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)\ge\frac1{q}</math> הוא סופי, ונסמן מספר זה ב- <math>n_q</math> .
-כיוון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הינו אפס, צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדרבו העליון קטן מאפסילון.
+אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).
+כעת, בהנתן חלוקה <math>P</math> כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\ge\frac1{q}</math> , ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר <math>1</math> כפול אורך הקטע.
-כעת נראה כי לכל מספר טבעי <math>q</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)\geq\frac{1}{q}</math> הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-<math>n_q</math>
+בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי <math>\frac1{q}</math> .
-אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},...,\frac{1}{q},...,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שייתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).
-כעת, בהנתן חלוקה P כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\geq\frac{1}{q}</math>, ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר 1 כפול אורך הקטע.
-בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על ידי <math>\frac{1}{q}</math>.
 לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:
-::<math>\overline{S}(R,P)\leq \frac{1}{q}\cdot |[0,1]| + n_q\cdot\lambda(P)</math>
+:<math>\overline{S}(R,P)\le\frac1{q}\cdot\Big|[0,1]\Big|+n_q\cdot\lambda(P)</math>
 כאשר <math>\lambda(P)</math> הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.
@@ שורה 65: / שורה 59: @@
 בסה"כ, נבחר q כך ש:
-::<math>\frac{1}{q}<\frac{\epsilon}{2}</math>
+:<math>\frac1{q}<\frac{\epsilon}{2}</math>
+ולאחר מכן נבחר <math>\delta</math> כך ש:
+:<math>n_q\delta<\frac{\epsilon}{2}</math>
-ולאחר מכן נבחר דלתא כך ש:
+וכך קיבלנו את שרצינו. <math>\blacksquare</math>
-::<math>n_q\delta < \frac{\epsilon}{2}</math>
-וכך קיבלנו את המשל.
+==חישוב האינטגרל המסוים==
+קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש ב[[המשפט היסודי של החדוא|נוסחת ניוטון-לייבניץ]].

הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל מסויים"

גרסה אחרונה מ־15:21, 12 בפברואר 2017

תוכן עניינים

הגדרה

דוגמאות

פונקצית דיריכלה

פונקצית רימאן

חישוב האינטגרל המסוים

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים