אינטגרל מסויים

הגדרה

תהי f פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע $(a,b)$ . אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסויים של f בקטע:

הגדרה לפי דרבו: אם גבול סכומי דרבו התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו העליונים אזי הפונקציה f אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסויים בקטע שווה לגבול סכומי הדרבו
הגדרה לפי רימן: אם גבול סכומי רימן קיים אזי f אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסויים בקטע שווה לגבול סכומי הרימן

הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע $[0,1]$ :

f(x)=\begin{cases} 1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}