אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון הבוחן

פתרון הבוחן:

שאלה 1:

נתון כי $A = \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$. ו $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}$.

צריך למצוא מטריצות אלמנטריות $E_1 , E_2 ,\ldots , E_k$. כך ש $E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A =B$.

מדרגים את מטריצה $A$ למטריצה $B$.

$\begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_2 = R_2 - cR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_1 = R_1 - bR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_1 = R_1 - aR_2} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_3 = 3R_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \overset{R_3 = R_3 + eR_1} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 3 \end{bmatrix}$

$\overset{R_3 = R_3 + fR_2} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix} \overset{R_2 = 2R_2} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix} \overset{R_2 = R_2 + dR_1} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}$

לכן מטריצות אלמנטריות מתאימות הן $E_8=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} E_7=\begin{bmatrix} 1 & 0 &-b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} E_6=\begin{bmatrix} 1 & -a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} E_5=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} E_4=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 1 \end{bmatrix} E_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & f & 1 \end{bmatrix} E_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} E_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

ומתקיים $E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_8 A=B$.

(זאת לא התשובה היחידה הנכונה, אבל זאת אחת הפשוטות)

שאלה 2:

נתונה מערכת המיוצגת על ידי המטריצה $\begin{bmatrix} 1 & a_1 & a_2 & 0 & a_3 & | & 0 \\ a_4 & 0 & a_5 & 2 & a_6 & | & 0 \\ a_7 & 0 & a_8 & 0 & a_9 & | & 0 \end{bmatrix}$

סעיף א) אם המטריצה מדורגת זה אומר ש $a_4 = a_7 = 0$ כי שניהם נמצאים מתחת לאיבר מוביל של השורה הראשונה.

בנוסף אפשר לראות ש $a_8=0$. הוכחה: נניח בשלילה ש $a_8 \neq 0$.

אם $a_5 \neq 0$ הוא נמצא מתחת לאיבר מוביל של השורה השניה.

אם $a_5 = 0$ הוא יהיה איבר מוביל משמאל לאיבר המוביל של השורה השניה.

לכן $a_8=0$.

לגבי שאר הפרמטרים, כל בחירה שהיא שלהם תשאיר את המטריצה מדורגת ולכן לא ניתן לדעת מהם.

סעיף ב) אם $A$ מדורגת קנונית אז $2$ לא יכול להיות איבר מוביל של השורה השניה.

לכן, $a_5 \neq 0$ כלומר הוא איבר מוביל ולכן $a_5 = 1$.

בנוסף $a_2 = 0$ כי הוא מעל האיבר המוביל של השורה השניה.

את הפרמטר $a_1$ אי אפשר לקבוע. גם את הפרמטרים $a_3,a_6,a_9$ לא ניתן עדיין לקבוע בוודאות. כי יכול להיות ש $a_9=0$ ואז $a_3,a_6$ יכולים להיות כל מספר שהוא.

ויכול להיות ש $a_9=1$ (ואז $a_3=a_6=0$).

סעיף ג) אם נתון שיש שני משתנים חופשיים, אז יש שלושה איברים מובילים ולכן

$a_9=1$ ולכן $a_3=a_6=0$ כי הם מעל איבר מוביל של השורה השלישית.

את $a_1$ עדיין לא ניתן לקבוע.

לכן קיבלנו

$\begin{bmatrix} 1 & a_1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix}$

סעיף ד) פתרון פשוט של המערכת מוביל ל

$x_5 = 0$ $\quad$ $x_4 = t$ $\quad$ $x_3=-2t$ $\quad$ $x_2 = s$ $\quad$ $x_1 = -a_1s$

כלומר

$(-a_1s,s,-2t,t,0)$.

שאלה 3:

א) $V = \mathbb{R}_3[x]$ ו $U = \{p\in \mathbb{R}_3[x] \mid p(0)=p(1)\}$

נוכיח ש $U$ תת מרחב לפי הקריטריון המקוצר.

ראשית $U \neq \emptyset$ כי פולינום האפס נמצא בו.

שנית, אם $p_1,p_2 \in U$ אז

$(p_1+p_2)(0) = p_1(0)+p_2(0)=p_1(1)+p_2(1)=(p_1+p_2)(1)$

ואם $p\in U$ ו $\alpha \in \mathbb{R}$ אז

$(\alpha p)(0) = \alpha p(0) = \alpha p(1) = (\alpha p)(1)$.

לכן $U$ תת מרחב של $V$.

מציאת בסיס ומימד:

איבר כללי של $V$ הוא מהצורה $a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$

הדרישה $p(0)=p(1)$ אומרת ש

$a_0+a_1+a_2+a_3=a_0$

כלומר

$a_1+a_2+a_3=0$

זאת מערכת של $4$ נעלמים עם משוואה אחת. נמצא את מרחב הפתרונות.

לפי פתרון המטריצה

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix}$

נקבל ש

$a_3 = t$

$a_2=s$

$a_1 = -s-t$

$a_0 = r$

לכן איבר כללי בפתרון הוא

$(r,-t-s,s,t) = r(1,0,0,0) + s(0,-1,1,0) + t(0,-1,0,1)$

לכן בסיס יהיה הפולינומים שמיוצגים על ידי

$(1,0,0,0) , (0,-1,1,0) ,(0,-1,0,1)$

כלומר

$\{1, -x+x^2 , -x+x^3\}$

והמימד הוא $3$.

ב) 1) הפרכה. לוקחים ב $\mathbb{R}^2$ את

$A = \{(1,0)\}$

$B = \{(2,0)\}$

ואז

$span(A\cap B) = span(\emptyset) = \{0\}$

אבל $span(A)=span(B)$

ולכן $span(A) \cap span(B) = span(A) = span(\{(1,0)\}) \neq \{0\}$

2) הוכחה:

נראה הכלה דו כיוונית

היות ולכל קבוצה $B$

מתקיים ש $B \subseteq span(B)$

זה נכון גם כש $B=span(A)$

ולכן

$span(A) \subseteq span(span(A))$.

מצד שני אנחנו יודעים שאם $V$ הוא מרחב וקטורי שמכיל את $A$ אז $span(A) \subseteq V$.

היות ו $span(A)$ הוא מרחב וקטורי שמכיל את $span(A)$ אז מתקיים $span(span(A))\subseteq span(A)$.

לכם בסך הכל

$span(span(A))=span(A)$.